Seja a curva dada por

r = u = 2 / (1 + e^u) + 2 * e^u / (1 + e^u) j

  1. Faça uma nova parametrização desta curva pelo comprimento de arco;
  2. Demonstre através desta nova parametrização que o traço da curva é uma reta;
  3. Obtenha uma nova representação paramétrica de uma forma w = X + t Y onde X → e Y → são dois vetores constantes.

Passo 1

Faaaala, meus iluminados! Se liga que para obter a parametrização pelo comprimento de arco devemos calcular o comprimento usando a fórmula:

s u = ∫ 0 u | | r ' ( u ) | | d u

E substituir u = u ( s ) na parametrização original. Avante! Observe que:

r ' u = - 2 1 + e u 2 ⋅ e u   i → + 2 e u 1 + e u - e u ⋅ e u 1 + e u 2   j →

= - 2 e u 1 + e u 2   i → + 2 e u 1 + e u 2   j →

= 2 e u 1 + e u 2   ( - i → +   j → )

Logo, temos que a norma da primeira derivada é:

r ' u = 2 e u 1 + e u 2 ⋅ | | - i → +   j → | |

= 2 e u 1 + e u 2 - 1 2 + 1 2

= 2 2 e u 1 + e u 2

Passo 2

Calculemos o comprimento de arco através da integral agora:

s u = ∫ 0 u | | r ' ( u ) | | d u

= 2 2 ∫ 0 u e u 1 + e u 2 d u

Com a mudança de variável t = 1 + e u , temos d t = e u d u , de forma que:

s u = 2 2 ∫ 2 t d t t 2 = 2 2 - 1 t 2 t

= 2 2 - 1 1 + e u 0 u

= 2 2 1 2 - 1 1 + e u = 2 1 - 2 1 + e u  

Passo 3

Agora, poremos u em função de s , observe:

s u = 2 1 - 2 1 + e u   ⇒ 2 1 + e u = 2 - s 2

⇒ 1 + e u = 2 2 ⋅ 1 2 - s ⇒ e u = 2 2 ⋅ 1 2 - s - 1

Passo 4

Para finalizar basta substituir u = u s   na parametrização original:

r → u = 2 1 + e u   i → + 2 e u 1 + e u j →

⇒ r → s = 2 - s 2 i → + 2 - s 2 2 2 ⋅ 1 2 - s - 1 j →

r → s = 1 - s 2 i → + 2 - 2 - s 2 j →

r → s = 1 - s 2 i → + 1 + s 2 j →

Resposta

r → s = 1 - s 2 i → + 1 + s 2 j →

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