Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Exercícios Resolvidos de Parametrizações Clássicas

Ver Teoria
Exercício 1512345678910111213141617181920212223242526272829303132333435363738394041424344454647484950515253545556575859606162636465666768697071727374757677787980818283848586878889

Enunciado

Parametrização de curvas

Considere as superfícies

S 1 = x , y , z ∈ R 3 4 y - 2 2 + 3 z - 1 2 = 4

S 2 = x , y , z ∈ R 3 x 3 y 2 + x 3 - 3 y z - z 4 = 3

  1. Exiba uma parametrização da curva espacial C = S 1 ∩ S 2 na forma

α t = x t , y t , z t ,   t ∈ a , b

Explicitando x t , y t , z t , a e b .

Passo 1

b)

A primeira ideia seria encontrar alguma equação dessa curva, mas repara que a superfície S 1 não tem o valor de x , vamos dar uma arrumada nela para vermos que ela é uma elipse

4 y - 2 2 + 3 z - 1 2 = 4

4 y - 2 2 4 + 3 z - 1 2 4 = 1

y - 2 2 + z - 1 2 4 / 3 = 1

Como a equação geral da elipse é dada por:

y - y 0 2 a 2 + z - z 0 2 b 2 = 1

Concluímos que a equação dessa superfície é uma elipse com:

y 0 = 2

z 0 = 1

a = 1

b = 4 3

Lembra como é a parametrização da elipse?

y t = y 0 + a cos ⁡ t

z t = z 0 + b sen ⁡ t

Então, para esse caso:

y t = 2 + cos ⁡ t

z t = 1 + 4 3 sen ⁡ t = 1 + 2 3 sen ⁡ t

Como ele faz a volta completa

t ∈ 0,2 π

Mas e agora como parametrizamos o valor de x ? Vamos usar a outra equação.

Passo 2

Primeiro temos que isolar o x na segunda superfícies

x 3 y 2 + x 3 - 3 y z - z 4 = 3

x 3 y 2 + 1 - 3 y z - z 4 = 3

x 3 y 2 + 1 = 3 y z + z 4 + 3

x 3 = 3 y z + z 4 + 3 y 2 + 1

x = 3 y z + z 4 + 3 y 2 + 1 3

Ok, agora temos uma expressão de x dependendo só de y e z , o que temos que fazer agora é trocar os valores de y e z da parametrização que fizemos ali em cima.

x t = 3 2 + cos ⁡ t 1 + 2 3 sen ⁡ t + 1 + 2 3 sen ⁡ t 4 + 3 2 + cos ⁡ t 2 + 1 3

Como a nossa vida é muito curta e preciosa não vou abrir conta nenhuma ali e deixar isso tudo indicado, não tem problema, afinal no gabarito nem substituir eles substituíram.

A parametrização vai ficar

α t = 3 2 + cos ⁡ t 1 + 2 3 sen ⁡ t + 1 + 2 3 sen ⁡ t 4 + 3 2 + cos ⁡ t 2 + 1 3 , 2 + cos ⁡ t , 1 + 2 3 sen ⁡ t

Com t ∈ 0,2 π

Resposta

b) α t = 3 2 + cos ⁡ t 1 + 2 3 sen ⁡ t + 1 + 2 3 sen ⁡ t 4 + 3 2 + cos ⁡ t 2 + 1 3 , 2 + cos ⁡ t , 1 + 2 3 sen ⁡ t

Com t ∈ 0,2 π

Exercícios de Livros Relacionados

Para cada um dos seguintes pares de equações paramétricas, esboce a curva e determine a sua equação cartesiana.
Para cada um dos seguintes pares de equações paramétricas, esboce a curva e determine a sua equação cartesiana.
Esboçar as curvas seguintes, representando o sentido positivo de percurso. Obter uma parametrização da curva dada, orientada no sentido contrário.d) r → t = 2 cos 3 ⁡ t ,2 s e n 3 t , t ∈ 0 , π 2
Esboçar as curvas seguintes, representando o sentido positivo de percurso. Obter uma parametrização da curva dada, orientada no sentido contrário.b) r → t = t ,t + 2 ,4 - 2 t , t ∈ 0 ,1
Esboçar as curvas seguintes, representando o sentido positivo de percurso. Obter uma parametrização da curva dada, orientada no sentido contrário.a) r → t = 2 + 3 cos ⁡ t ,1 + 4 s e n t , t ∈ 0 ,2 π