UFU, Sem Campus, Cálculo 2, Listas de Cálculo 2 - Profº M. C. Fenille – Segunda Lista de Exercícios, Questão 19
Uma força de intensidade age diretamente no sentido ascendente a partir do plano em um objeto de massa . O objeto parte da origem com velocidade inicial . Determine a função posição do objeto e sua velocidade no instante .
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão!
O enunciado nos deu um objeto de massa que tá sofrendo a ação de uma força no sentido ascendente a partir do plano , ou seja, no sentido do eixo . Assim, o vetor força é dado por:
Nosso objeto tá partindo da origem, então nós temos e a outra condição inicial . Nós precisamos determinar o vetor e o vetor velocidade . Lembrando que, pela segunda Lei de Newton:
Onde é o vetor aceleração. Usando as informações da massa e da força, vamos encontrar o vetor aceleração. Integrando o vetor aceleração teremos o vetor velocidade, e integrando o vetor velocidade, temos o vetor posição. Então, vamos lá!
Passo 2
Como a força está relacionada com a aceleração, temos:
Se a força está na direção ascendente a partir do plano , ou seja na direção positiva de :
Assim a aceleração também vai ser na direção positiva do eixo :
Beleza! Mas, e a aceleração? Ela é a variação da velocidade em um determinado tempo!
Se a aceleração também for calculada em um tempo bem pequenininho, podemos dizer que a aceleração é a derivada temporal da velocidade:
Sendo assim, se multiplicarmos dos dois lados por teremos:
Se integrarmos dos dois lados vamos ter uma função da velocidade em função do tempo:
A constante de integração pode ser calculada com a condição inicial da velocidade. No instante a velocidade é . Agora é só substituir:
Assim a velocidade em função do tempo é:
Passo 3
O problema pede a função posição em função do tempo! Daí temos que lembrar lá da física: quando temos uma função que descreve a posição em função do tempo e esse intervalo de tempo é bem pequenininho, dizemos que a velocidade é a derivada temporal da posição:
Já que temos a função da velocidade, vamos integrar dos dois lados e obter uma expressão pra :
Como , temos:
Integrando:
Assim, temos o vetor posição:
A constante que aparece no lado direito é a constante de integração. Como a partícula parte da origem no instante inicial , vamos ter:
Assim, a equação da posição vai ser:
Prontinho, galera! Até a próxima! 😉