1. Apresente uma parametrização diferenciável para as seguintes curvas planas:
  1. C : x^2 + y^2 = 4, y >= 0

Passo 1

Bem, já vimos outrora que essa curva aí oh, sim! É uma circunferência também, só que deslocada. Veja!

Se passarmos esse 4 x pro outro lado...

x 2 + y 2 = 4 x       →           x 2 - 4 x + y 2 = 0

Completando quadrado...

x - 2 2 - 4 + y 2 = 0 →

x - 2 2 + y 2 = 4

Passo 2

Já vimos que parametrização de circunferência se dá

x = R cos ⁡ θ

y = R sin ⁡ θ

Onde o R é o raio dela. Como o raio R é 4 = 2 ,

x = 2 cos ⁡ θ

y = 2 sin ⁡ θ

Porém, como essa curva está deslocada 2 unidades em x , sua parametrização final será

x = 2 + 2 cos ⁡ θ

y = 2 sin ⁡ θ

Logo

r → t = 2 + 2 cos ⁡ θ ,   2 sin ⁡ θ

Porém, como ele quer y ≥ 0 , iremos trabalhar somente com a metade, logo:

0 ≤ θ ≤ π

Passo 3

Agora basta verificar se ela é diferenciável calculando sua derivada:

r → t = 2 + 2 cos ⁡ θ ,   2 sin ⁡ θ →             r ' t = - 2 sin ⁡ θ ,   2 cos ⁡ θ

Repare que essa derivada aí funciona para qualquer ponto. Então, sim, ela é diferenciável !

Resposta

r → t = 2 + 2 cos ⁡ θ ,   2 sin ⁡ θ ,     0 ≤ θ ≤ π

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