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Exercícios Resolvidos de Parametrizações Clássicas

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Enunciado

UFRJ, Sem Campus, Cálculo 2, Listas de Cálculo 2 - UFRJ - Lista de Curvas Parametrizadas, Questão 8d

Suponha que a posição de duas partículas no instante t seja dada por σ ( t )   =   ( 2   s e c   t ,   2   t g   t ) ,

0   ≤   t   <   π / 2   e   α ( t )   =   ( 5   c o s t ,   3   s e n   t ) ,   0   ≤   t   ≤   2 π , respectivamente.

Existe colisão entre as partículas?

Passo 1

Fala galera, tudo bem com vocês? Vamos para mais uma questão de Cálculo 2. Dessa vez estaremos trabalhando curvas parametrizadas.

Nosso objetivo é verificar se existe colisão entre as partículas cujas posições são dadas por

σ ( t )   =   ( 2   s e c   t ,   2   t g   t ) , 0   ≤   t   <   π / 2   e   α ( t )   =   ( 5   c o s t ,   3   s e n   t ) ,   0   ≤   t   ≤   2 π , respectivamente.

Passo 2

Para termos colisão, as partículas precisam estar no mesmo ponto no mesmo instante, isso quer dizer que precisamos que

σ ( t )   = α ( t )

Ou seja,

( 2   s e c   t ,   2   t g   t ) =   ( 5   c o s   t ,   3   s e n   t )

resolvendo coordenada a coordenada, obtemos

2   s e c   t = 5   c o s   t

⇒ c o s 2 ( t ) = 2 / 5

Já para o eixo y , temos:

2   t g   t = 3   s e n   t

⇒ s i n ( t ) = 0

ou

⇒ c o s ( t ) = 2 / 3

Logo, não ocorre colisão, pois não existe t ∈ R tal que

c o s 2 ( t ) = 2 / 5

e

s i n ( t ) = 0

ou

c o s ( t ) = 2 / 3

Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

Desenvolvimento Acima

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