Considere a curva parametrizada por r(t) = (t^3 + 1, 2/3 * raiz((t + 1)^3), t - 1) , com t ∈ R .

(a) O ponto P de interseção da trajetória de r com o plano x z .

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado nos deu uma curva parametrizada por r t = ( t 3 + 1 , 2 3 t + 1 3 ,   t - 1 ) e pediu pra gente determinar um ponto de interseção de r com o plano- x z .

Um detalhe importante que a gente precisa lembrar é que no plano x z a componente y é nula, ou seja, y = 0 . Dessa forma, a gente pode representar um vetor genérico desse plano na forma:

s = ( x ,   0 ,   z )

Igualando as componentes desse vetor com o vetor r t , vamos encontrar um ponto de interseção.

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar igualando os vetores r e s :

t 3 + 1 , 2 3 t + 1 3 ,   t - 1 = ( x ,   0 ,   z )

Para que os vetores sejam iguais, suas componentes precisam ser iguais, então temos:

t 3 + 1 = x

2 3 t + 1 3 = 0

t - 1 = z

Vamos tentar isolar t na segunda equação:

2 3 t + 1 3 = 0

Multiplicando ambos os lados por 3 2 :

t + 1 3 = 0

Elevando ambos os lados ao quadrado:

t + 1 3 = 0

Assim, temos:

t + 1 = 0 → t = - 1

Passo 3

Com o valor de t que encontramos, podemos substituir na equação t 3 + 1 = x e t - 1 = z para obter:

x = t 3 + 1 → x = - 1 3 + 1

x = 0

Substituindo agora em z :

z = t - 1

z = - 1 - 1

z = - 2

Então, temos o ponto de interseção P 0 ,   0 ,   - 2 .

Prontinho, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

P 0 ,   0 ,   - 2

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