Uma partícula se move no plano segundo o vetor posição r(t) = 2 * cos(2t) * i + 3 * cos(t) * j .

(a) Verifique que a trajetória está sobre a parábola 4 * y^2 - 9x = 18 e desenhe a trajetória.

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado nos deu uma curva parametrizada por r t = 2 cos ⁡ 2 t i → + 3 cos ⁡ t j → e uma parábola de equação 4 y 2 - 9 x = 18 . Nós precisamos determinar se essa curva r está sobre a parábola.

Para isso, vamos verificar se as componentes do vetor r t satisfazem a equação da parábola. Essas componentes são:

x t = 2 cos ⁡ 2 t

y t = 3 cos ⁡ ( t )

Substituindo em 4 y 2 - 9 x = 18 , vamos verificar se a trajetória da curva está sobre a parábola.

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar substituindo x = 2 cos ⁡ 2 t e y = 3 cos ⁡ ( t ) em 4 y 2 - 9 x = 18 :

4 3 cos ⁡ ( t ) 2 - 9 2 cos ⁡ 2 t = 18

Fazendo o produto dos termos:

4 9 cos 2 ⁡ t - 18 cos ⁡ 2 t = 18

36 cos 2 ⁡ t - 18 cos ⁡ 2 t = 18

Usando a fórmula do arco duplo, cos ⁡ 2 t = 2 cos 2 ⁡ ( t ) - 1 , temos:

36 cos 2 ⁡ t - 18 2 cos 2 ⁡ ( t ) - 1 = 18

36 cos 2 ⁡ t - 36 cos 2 ⁡ t + 18 = 18

Simplificando, vamos obter:

18 = 18

Portanto, nossa curva paramétrica satisfaz a equação da parábola e podemos dizer que a curva está sobre a parábola. Esse fato é verificado observando o gráfico das duas na figura abaixo:

Prontinho, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

G r á f i c o   n o s   p a s s o s

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