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Exercícios Resolvidos de Parametrizações Clássicas

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Enunciado

UFRJ, Sem Campus, Cálculo 2, Listas de Cálculo 2 - UFRJ - Lista de Curvas Parametrizadas, Questão 6a

Seja C a curva com equações paramétricas

x ( t )   =   1   +   2   l n ( 1   +   t ) ,   y ( t )   =   1   +   ( 1   +   t ) 2 ,   t   >   − 1 .

Determine uma parametrização da reta tangente à curva C no ponto ( 1 ,   2 ) ;

Passo 1

Fala galera, tudo bem com vocês? Vamos para mais uma questão de Cálculo 2. Dessa vez estaremos trabalhando curvas parametrizadas.

Nosso objetivo é determinar uma parametrização da reta tangente à curva C no ponto ( 1 ,   2 ) . Onde C é:

x ( t )   =   1   +   2   l n ( 1   +   t ) ,   y ( t )   =   1   +   ( 1   +   t ) 2 ,   t   >   − 1 .

Passo 2

Vamos relembrar a fórmula da reta tangente. Temos que a reta tangente a curva parametrizada C é dada por

r ( w ) = C ( t 0 ) + w d C ( t 0 ) d t

Vamos começar calculando

d C ( t ) d t

derivando as coordenadas da nossa curva. Temos:

d C ( t ) d t = ( 2 1 + t , 2 ( 1 + t ) )

Agora, precisamos descobrir para qual valor de t temos

C ( t ) = ( 1,2 )

Que é o ponto de interesse.

Fazendo t = 0 , temos que

C ( 0 ) = ( 1,2 )

Passo 3

Agora vamos juntar tudo.

r ( w ) = C ( t 0 ) + w d C ( t 0 ) d t

d C ( t ) d t = ( 2 1 + t , 2 ( 1 + t ) )

fazendo t 0 = 0

r ( w ) = ( 1,2 ) + w ( 2,2 )

Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

Desenvolvimento Acima

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Para cada um dos seguintes pares de equações paramétricas, esboce a curva e determine a sua equação cartesiana.
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