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Exercícios Resolvidos de Parametrizações Clássicas

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Enunciado

UFRJ, Sem Campus, Cálculo 2, Listas de Cálculo 2 - UFRJ - Lista de Curvas Parametrizadas, Questão 7b

Uma partícula se move ao longo de uma curva

σ ( t )   =   ( x ( t ) ,   y ( t ) )

Se o vetor velocidade da partícula é dado por

V ( t ) = ( 1 , s i n ( t ) / t 2 + 2 c o s ( t ) / t 3 )

Calcule o vetor posição da partícula

Passo 1

Fala galera, tudo bem com vocês? Vamos para mais uma questão de Cálculo 2. Dessa vez estaremos trabalhando curvas parametrizadas.

Nosso objetivo é encontrar o vetor posição de uma partícula sabendo que seu vetor velocidade é dado por:

V ( t ) = ( 1 , s i n ( t ) / t 2 + 2 c o s ( t ) / t 3 )

Passo 2

Como podemos encontrar o vetor posição? Bem temos a velocidade em cada instante

V ( t ) = ( 1 , s i n ( t ) / t 2 + 2 c o s ( t ) / t 3 )

Logo, como a velocidade é a derivada em relação ao tempo da posição. Temos

V ( t ) = d d t   ( x ( t ) ,   y ( t ) )

⇒ ∫ V ( t ) d t = ( x ( t ) , y ( t ) )

ENtão vamos integrar nosso vetor.

temos que

∫ d t   =   1 + c 1 ,   c 1 ∈ R

e

∫ s i n ( t ) / t 2 + 2 c o s ( t ) / t 3

usando a regra da razão, podemos ver que

d d t - c o s ( t ) / t 2 = s i n ( t ) / t 2 + 2 c o s ( t ) / t 3

Logo

∫ s i n ( t ) / t 2 + 2 c o s ( t ) / t 3 = - c o s ( t ) / t 2 + C 2

Dessa forma, o vetor posição é:

(   1 + c 1 , - c o s ( t ) / t 2 + C 2 )

Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

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