Livro James Stewart, Volume 2, 7ª Edição, Capítulo 13, Seção 2, Exercício 24
(Cap. 13.2 - Ex. 24) Determine as equações paramétricas para a reta tangente à curva dada pelas equações paramétricas, no ponto especificado.
Passo 1
Fala aí, meu povo!! Tudo bem com vocês? Bora lá resolver mais uma questãozinha?
O enunciado desse exercício aqui é bem direto e já passa pra gente algumas equações que serão importantes pra entender como vamos resolver. Então bora lá!
O objetivo aqui é encontrar as equações paramétricas pra uma reta tangente à uma curva que foi dada. E o que isso quer dizer?
Precisamos lembrar aqui, que se a gente tem uma curva parametrizada (que vamos chamar de ), e temos um ponto nessa mesma curva, esse ponto nada mais é do que a seguinte junção: , que é chamada de equação vetorial.
Essa sacada do que compõe esse ponto em uma curva parametrizada vai ser a chave pra gente resolver esse probleminha aqui!
Então, seguindo a linha de raciocínio, se eu quero encontrar as equações paramétricas da reta tangente, nós vamos precisar de um ponto e uma direção. Se a gente tiver um ponto e uma direção, encontramos a reta. E pra esse caso aqui, a direção será dada pela derivada, já que queremos a reta tangente, e o ponto o enunciado deu pra gente.
Bom, então primeiro vamos escrever a equação vetorial para a curva, a partir dos dados que foram fornecidos no enunciado:
E partindo pra derivada, nós vamos utilizar o método da derivada termo a termo:
Passo 2
Agora, a gente vai fazer uma relação entre os pontos que foram dados, com as equações dadas de e . E por que isso? Essa relação vai servir pra gente determinar o tempo para que a curva esteja no ponto .
A relação é a seguinte:
Pra resolver a relaçãozinha feita ali em cima, basta a gente resolver cada uma delas separadamente pra avaliar os valores de encontrados. Vamso ter então:
Então, vemos que o ponto corresponde a . A partir disso, quando a gente substituir nas derivadas de e feitas no item anterior, vamos encontrar o vetor tangente:
Isso implica que o vetor é:
Assim, a gente consegue ver aqui, que a linha tangente é paralela ao vetor e inclui o ponto .
Passo 3
Por fim, pra gente encontrar as equações paramétricas, da literatura, sabemos que a equação paramétrica é a soma do ponto com o vetor . Então:
Fazendo isso para e , vamos ter que:
Pra essa questão é isso, pessoal!! Bora resolver mais uma??