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Exercícios Resolvidos de Parametrizações Clássicas

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Enunciado

  1. Apresente uma parametrização diferenciável para as seguintes curvas planas:
  1. C : x 2 + y 2 = 16 ,         x ≥ 2

Passo 1

Pow! É sempre muito recomendado que se desenhe a curva antes de parametriza-la.

Bem, nesse caso estamos trabalhando com uma circunferência de raio 4 : x 2 + y 2 = 16 ,

porém, só queremos a parte onde o x ≥ 2

Passo 2

Pow! Circunferências sempre podemos parametrizar semelhante as coordenadas polares:

x = r cos ⁡ θ

y = r sin ⁡ θ

Mas cuidado! Como estamos parametizando curvas, só temos um parâmetro e não dois, então esse r desparece, afinal de contas o raio dessa circunferência é 4 :

x = 4 cos ⁡ θ

y = 4 sin ⁡ θ

Assim, uma parametrização é:

r → t = 4 cos ⁡ θ ,   4 sin ⁡ θ

Passo 3

Precisamos encontrar, como em qualquer parametrização, a variação de θ agora. Bem, repare que θ atinge o seu máximo na bordinha da curva, onde x = 2 , logo...

x = 4 cos ⁡ θ       →         2 = 4 cos ⁡ θ       →

cos ⁡ θ = 1 2

Então θ varia de - 60 ° até 60 °

- π 3 ≤ θ ≤ π 3

Passo 4

Agora basta verificar se ela é diferenciável calculando sua derivada:

r → t = 4 cos ⁡ θ ,   4 sin ⁡ θ →             r ' t = - 4 sin ⁡ θ ,   4 cos ⁡ θ

Repare que essa derivada aí funciona para qualquer ponto. Então, sim, ela é diferenciável !

Resposta

r → t = 4 cos ⁡ θ ,   4 sin ⁡ θ ,     - π 3 ≤ θ ≤ π 3

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Para cada um dos seguintes pares de equações paramétricas, esboce a curva e determine a sua equação cartesiana.
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