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Exercícios Resolvidos de Parametrizações Clássicas

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Enunciado

USP – Cálculo 2 – 2020.2 – P1 – M. Escolha

4 . Seja C o círculo de raio 1   cujo centro é ( 0,1 ) . Uma parametrização de C com x t = a + b sen  ⁡ t + c cos ⁡ t e y t = A + B sen  ⁡ t + C cos ⁡ t , com parâmetro t no intervalo 0,2 π , que percorre a curva uma vez no sentido anti-horário começando no ponto 1,1 é tal que

Escolha uma opção:

a . a = 1 / 2 , b = 0 , c = 1 / 2 , A = 0 , B = 0 e C = 1

b . a = 1 / 2 , b = 0 , c = 1 / 2 , A = 1 / 2 , B = 0 e C = 1 / 2

c . a = 0 , b = 0 , c = 1 , A = 0 , B = 0 e C = 1

d . a = 1 , b = 0 , c = 0 , A = 0 , B = 0 e C = 1

e . a = 0 , b = 0 , c = 1 , A = 1 , B = 1 e C = 0

Passo 1

Nós queremos descobrir quem são as constantes da parametrização em x ( t ) e y ( t ) no ponto ( 1,1 ) . Para isso precisaremos substituir o intervalo na parametrização e assim conseguir a resposta.

Achou confuso? Vem que eu facilito pra você!

Passo 2

Primeiro vamos pensar na parametrização de C em x , ou seja:

x t = a + b sen  ⁡ t + c cos ⁡ t   ⇒ x 0 = a + c = 1

Porém sabemos que na parametrização do círculo em x tem que ter uma cara x = c cos ⁡ t , sendo assim podemos dizer que c = 1 , então concluímos que a = 0 .

Com isso já eliminamos as opções a , b e d .

Agora vamos para parametrização de C em y :

y t = A + B sen  ⁡ t + C cos ⁡ t   ⇒ y 0 = A + C = 1

Porém sabemos que na parametrização do círculo em y tem que ter uma cara y = B sen ⁡ t , sendo assim podemos dizer que B ≠ 0 , ou seja, B = 1 .

E com essa última informação teremos que a resposta correta é a letra e .

Resposta

e . a = 0 , b = 0 , c = 1 , A = 1 , B = 1 e C = 0

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