1. Apresente uma parametrização diferenciável para as seguintes curvas planas:
  1. C: x^2 + y^2 = 4, y >= 0

Passo 1

Pow! É sempre muito recomendado que se desenhe a curva antes de parametriza-la.

Esse caso é bem simples: nos representa a parte de cima de uma circunferência de raio 2 (a parte de cima, pois y ≥ 0 )

Passo 2

Pow! Circunferências sempre podemos parametrizar semelhante as coordenadas polares:

x = r cos ⁡ θ

y = r sin ⁡ θ

Mas cuidado! Como estamos parametizando curvas, só temos um parâmetro e não dois, então esse r desaparece, afinal de contas o raio dessa circunferência é 2 :

x = 2 cos ⁡ θ

y = 2 sin ⁡ θ

Assim, uma parametrização é:

r → θ = 2 cos ⁡ θ ,   2 sin ⁡ θ

θ dá uma meia volta, então...

0 ≤ θ ≤ π

Passo 3

Agora basta verificar se ela é diferenciável calculando sua derivada:

r → θ = 2 cos ⁡ θ ,   2 sin ⁡ θ →             r ' θ = - 2 sin ⁡ θ ,   2 cos ⁡ θ

Repare que essa derivada aí funciona para qualquer ponto. Então, sim, ela é diferenciável !

Resposta

b )   r → θ = 2 cos ⁡ θ ,   2 sin ⁡ θ ,     0 ≤ θ ≤ π

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