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Exercícios Resolvidos de Parametrizações Clássicas

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Enunciado

  1. Apresente uma parametrização diferenciável para as seguintes curvas planas:
  1. C : 2 x 2 + 2 y 2 - 6 x + 4 y - 16 = 0

Passo 1

Primeiramente aqui, preciso que você tenha já em mente que essa curva nos representa uma elipse (na realidade é uma circunferência, mas tanto faz, pois uma circunferência também é uma elipse ), certo? Então vamos leva-la para a sua forma geral de elipse: x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 ?

2 x 2 + 2 y 2 - 6 x + 4 y - 16 = 0   ⇒ d i v i d i n d o   t o d o   m u n d o p o r   2             x 2 + y 2 - 3 x + 2 y - 8 = 0

Completando quadrado...

  x - 3 2 2 - 9 4 + y + 1 2 - 1 - 8 = 0   →

x - 3 2 2 + y + 1 2 = 45 4

Passando essa fração pro outro lado dividindo...

x - 3 2 2 45 4 + y + 1 2 45 4 = 1         →

x - 3 2 2 45 2 2 + y + 1 2 45 2 2 = 1 →

x - 3 2 2 3 5 2 2 + y + 1 2 3 5 2 2 = 1

Passo 2

A parametrização de elipses centrada na origem sempre será:

x = a cos ⁡ θ

y = b sin ⁡ θ

como a nossa curva está fora da origem e sim centrada no ponto 3 2 ,   - 1 , a parametrização fica

x = 3 2 + a cos ⁡ θ

y = - 1 + b sin ⁡ θ

a = 3 5 2 e b = 3 5 2 . Assim, uma parametrização é:

x = 3 2 + 3 5 2 cos ⁡ θ

y = - 1 + 3 5 2 sin ⁡ θ

r → t = 3 2 + 3 5 2 cos ⁡ θ ,   - 1 + 3 5 2 sin ⁡ θ

θ dá uma volta completa...

0 ≤ θ ≤ 2 π

Passo 3

Agora basta verificar se ela é diferenciável calculando sua derivada:

r → t = 3 2 + 3 5 2 cos ⁡ θ ,   - 1 + 3 5 2 sin ⁡ θ →             r ' t = - 3 5 2 sin ⁡ θ ,   3 5 2 cos ⁡ θ

Repare que essa derivada aí funciona para qualquer ponto. Então, sim, ela é diferenciável !

Resposta

h )   r → t = 3 2 + 3 5 2 cos ⁡ θ ,   - 1 + 3 5 2 sin ⁡ θ ,     0 ≤ θ ≤ 2 π

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