UFU, Sem Campus, Cálculo 2, Listas de Cálculo 2 - Profº M. C. Fenille – Segunda Lista de Exercícios, Questão 15c
Considere a espiral , , e a circunferência de equação .
(c) Quantas voltas completas ao redor da origem descreve a trajetória de antes de tocar ?
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão!
O enunciado nos deu uma curva parametrizada por e quer saber com quantas voltas essa trajetória encontra a circunferência de equação . Dessa forma, precisamos determinar o valor de (o instante) onde elas se interceptam e verificar no graficamente a trajetória de
Vamos lá!
Passo 2
Vamos começar definindo as componentes do vetor em termos de e :
Agora podemos substituir os valores de e na equação da circunferência:
Elevando ao quadrado:
Colocando em evidência:
Usando a identidade trigonométrica , temos:
Como , isolando temos:
Logo,
Passo 3
Isso significa que em a trajetória encontra a circunferência . Então, plotando , com variando de a , temos a figura:
Como uma volta completa corresponde a , temos duas voltas completas antes da trajetória tocar a circunferência, como a gente pode ver no gráfico.
Prontinho, galera! Até a próxima! 😉