1. Apresente uma parametrização diferenciável para as seguintes curvas planas:
  1. C: x = y^2, 0 ≤ x ≤ 2

Passo 1

Pow! É sempre muito recomendado que se desenhe a curva antes de parametriza-la.

Esse caso é bem simples: nos representa uma parábola viradinha ao redor de x :

Passo 2

Como x está explicitamente em função de y , podemos pensar em uma parametrização explícita onde podemos chamar y de t e ao mesmo tempo ganhamos x :

y = t

x = y 2 = t 2

Assim, uma parametrização é:

r → t = t 2 ,   t

Como x varia de 0 a 2 ...

x = t 2 = 2           →           t = ± 2

- 2 ≤ t ≤ 2

Passo 3

Agora basta verificar se ela é diferenciável calculando sua derivada:

r → t = t 2 ,   t         →             r ' t = 2 t ,   1

Repare que essa derivada aí funciona para qualquer ponto, em especial aos de - 2 ≤ t ≤ 2 . Então, sim, ela é diferenciável !

Resposta

r → t = t 2 ,   t

C o m   - 2 ≤ t ≤ 2

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