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Exercícios Resolvidos de Parametrizações Clássicas

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Enunciado

UFRJ, Sem Campus, Cálculo 2, Listas de Cálculo 2 - UFRJ - Lista de Curvas Parametrizadas, Questão 3b

Escreva a equação cartesiana da curva e faça um esboço indicando a direção na qual a

curva é traçada quando o parâmetro aumenta.

x = s e c ( t ) ,   y = t g ( t ) ;   c o m     - π / 2 ≤ t ≤ π / 2

Passo 1

Fala galera, tudo bem com vocês? Vamos para mais uma questão de Cálculo 2. Dessa vez estaremos trabalhando curvas parametrizadas.

Nosso objetivo é desenhar a curva parametrizada

x = s e c ( t ) ,   y = t g ( t ) ;   c o m     - π / 2 ≤ t ≤ π / 2

dizer sua equação no plano cartesiano e a direção no qual a curva é traçada quando o parâmetro aumenta.

Passo 2

Vamos começar a obter a equação cartesiana. Como

x = s e c ( t ) ,   y = t g ( t ) ;   c o m     - π / 2 < t < π / 2

Temos que

Usando a identidade

t g 2 ( t ) = 1 - s e c 2 ( t )

Logo,

x 2 ( t ) - y 2 ( t ) = 1

Ou seja, nossa equação cartesiana é uma hipérbole

com

0 < x ≤ ∞     u m a   v e z   q u e   1 < 1 / s e c ( t ) < ∞

Esboçando a curva

Quanto ao seu sentido, vamos de y = - ∞ a y = ∞ . Ja que - ∞   < t g ( t ) < ∞ para - π / 2 < t < π / 2

Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

Desenvolvimento Acima

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Para cada um dos seguintes pares de equações paramétricas, esboce a curva e determine a sua equação cartesiana.
Para cada um dos seguintes pares de equações paramétricas, esboce a curva e determine a sua equação cartesiana.
Esboçar as curvas seguintes, representando o sentido positivo de percurso. Obter uma parametrização da curva dada, orientada no sentido contrário.d) r → t = 2 cos 3 ⁡ t ,2 s e n 3 t , t ∈ 0 , π 2
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Esboçar as curvas seguintes, representando o sentido positivo de percurso. Obter uma parametrização da curva dada, orientada no sentido contrário.a) r → t = 2 + 3 cos ⁡ t ,1 + 4 s e n t , t ∈ 0 ,2 π