Seja r : R^3 → R^3 a função r(t) = (1 + 2t) i + (1 - 2t) j + (2 + 8t^2) k . Verifique que r parametriza a curva interseção das superfícies S1: x + y - 2 = 0 e S_2 : x^2 + y^2 - z = 0 . Que superfícies são essas? Esboce-as e destaque a trajetória de r . Destaque os pontos r(-1), r(0), r(1) .

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado nos deu duas superfícies, S 1 : x + y - 2 = 0 e S 2 : x 2 + y 2 - z = 0 , e uma curva r t que parametriza a interseção dessas superfícies. Para verificar se essa é mesmo uma parametrização, basta a gente usar as componentes do vetor na forma cartesiana:

x t = 1 + 2 t

y t = 1 - 2 t

z t = 2 + 8 t 2

Substituindo x , y e z nas equações das superfícies, nós vamos verificar as igualdades para saber se a curva parametriza as equações. Em seguida, vamos identificar e esboçar cada superfície junto com os pontos r - 1 ,   r 0 ,   r ( 1 ) .

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar verificando as equações paramétricas x t = 1 + 2 t , y t = 1 - 2 t e z t = 2 + 8 t 2 . Substituindo na equação x + y - 2 = 0 , temos:

( 1 + 2 t ) + ( 1 - 2 t ) - 2 = 0

2 - 2 = 0

Então, satisfaz a equação. Agora vamos testar em x 2 + y 2 - z = 0 . Substituindo as equações paramétricas, temos:

( 1 + 2 t ) 2 + ( 1 - 2 t ) 2 - ( 2 + 8 t 2 ) = 0

1 + 4 t + 4 t 2 + 1 - 4 t + 4 t 2 - 2 - 8 t 2 = 0

Simplificando, temos também:

2 - 2 = 0

Portanto, podemos dizer que r t = 1 + 2 t i → + 1 - 2 t j → + 2 + 8 t 2 k → é uma parametrização para a interseção das superfícies S 1 e S 2 . Outra forma de verificar, seria plotando a curva junto com as superfícies. É que nós vamos fazer agora.

Passo 3

Repare que em S 2 : x 2 + y 2 - z = 0 , é como se tivéssemos duas parábolas, x 2 e y 2 , rotacionando em torno do eixo z . Então, essa superfície é chamada de paraboloide de revolução, que é como um copo de forma oval:

E em S 1 : x + y - 2 = 0 , nós temos um plano:

Juntando as duas superfícies com r t = 1 + 2 t i → + 1 - 2 t j → + 2 + 8 t 2 k → , temos a curva de interseção das superfícies, representada no nosso gráfico em preto:

Agora para encontrar os pontos r - 1 ,   r 0 ,   r ( 1 ) , vamos substituir os valores referentes de t em r t = 1 + 2 t ,   1 - 2 t ,   2 + 8 t 2 :

r - 1 = 1 + 2 ( - 1 ) ,   1 - 2 ( - 1 ) ,   2 + 8 ( - 1 ) 2 = ( - 1 ,   3 ,   10 )

r 0 = 1 + 2 ( 0 ) ,   1 - 2 ( 0 ) ,   2 + 8 ( 0 ) 2 = ( 1 ,   1 ,   2 )

r 1 = 1 + 2 ( 1 ) ,   1 - 2 ( 1 ) ,   2 + 8 ( 1 ) 2 = ( 3 ,   - 1 ,   10 )

Nó gráfico, eles são representados pelos pontos A , B e C :

Prontinho, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

G r á f i c o s   n o s   p a s s o s

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