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Exercícios Resolvidos de Parametrizações Clássicas

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Enunciado

UFF – Cálculo IIB – VS – Questão 2

O paraboloide z = x 2 + y 2 intersecta o elipsoide 4 x 2 + y 2 + z 2 = 9 ao longo de uma

curva C que contém o ponto   P   =   ( - 1 ,   1 ,   2 ) . Determine equações paramétricas para a reta tangente a C no ponto P .

Passo 1

Oi, tudo bem? Vou te ajudar a resolver esse problema, vamos lá? O problema deu essas duas superfícies

z = x 2 + y 2

4 x 2 + y 2 + z 2 = 9

E um ponto que pertence à curva onde essas duas superfícies se interceptam

P = ( - 1,1 , 2 )

P . Mas como fazer isso?

Para encontrar a equação de uma reta precisamos de um vetor diretor e um ponto. O ponto nós já temos, falta o vetor diretor!

A reta precisa ser tangente à curva C , ou seja, ser perpendicular às duas superfícies! E isso a gente encontra fazendo o produto vetorial entre os gradientes das superfícies!

Então é isso, bora começar?

Relaxa, vou te ajudar!

Passo 2

Podemos associar duas curvas de nível às superfícies dadas

z = x 2 + y 2 → F = x 2 + y 2 - z

4 x 2 + y 2 + z 2 = 9 → G = 4 x 2 + y 2 + z 2

A primeira seria a curva zero do paraboloide e a segunda seria a curva 9 . Mas o que nos interessa são os gradientes:

∇ F = 2 x , 2 y , - 1

∇ G = ( 8 x ,   2 y ,   2 z )

Aplicando no ponto P ( - 1,1 , 2 ) :

∇ F = - 2,2 , - 1

∇ G = ( - 8,2 , 4 )

Tudo bem até aqui?

Agora precisamos fazer o produto vetorial entre esses dois vetores: esse será o vetor diretor da nossa reta

∇ F × ∇ G = i ^ j ^ k ^ - 2 2 - 1 - 8 2 4 = i ^ 8 + 1 + j ^ 8 + 8 + k ^ ( - 4 + 16 )

n → = 10,16,12

Tranquilo?

Passo 3

Agora com nosso ponto e com o vetor diretor, podemos montar a equação da reta!

r : x = x 0 + a t y = y 0 + b t z = z 0 + c t

Temos que

n → = a , b , c = ( 10,16,12 )

P = x 0 , y 0 , z 0 = ( - 1,1 , 2 )

Daí a nossa reta fica

r : x = - 1 + 10 t y = 1 + 16 t t z = 2 + 12 t

Belezinha?

Até a próxima!

Resposta

r : x = - 1 + 10 t y = 1 + 16 t t z = 2 + 12 t

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