UFU, Sem Campus, Cálculo 2, Listas de Cálculo 2 - Profº M. C. Fenille – Segunda Lista de Exercícios, Questão 15a
Considere a espiral , , e a circunferência de equação .
(a) Determine o instante e o ponto em que a trajetória de intersepta .
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão!
O enunciado nos deu uma curva parametrizada por e quer saber onde ela encontra a circunferência de equação . Dessa forma, precisamos determinar o valor de (o instante) onde elas se interceptam e o ponto onde isso acontece.
Para isso, vamos definir as componentes do vetor em termos das coordenadas cartesianas, substituir esses valores na equação da circunferência e encontrar o valor de . Para descobrir o ponto em que a trajetória de intersepta , basta substituir o valor de que encontrarmos nas componentes que definimos a princípio.
Vamos lá!
Passo 2
Vamos começar definindo as componentes do vetor em termos de e :
Agora podemos substituir os valores de e na equação da circunferência:
Elevando ao quadrado:
Colocando em evidência:
Usando a identidade trigonométrica , temos:
Como , isolando temos:
Logo,
Passo 3
Substituindo em e , temos:
Portanto, temos o instante e o ponto na interseção entre as curvas.
Prontinho, galera! Até a próxima! 😉