IME, Cálculo 2, 2017, VE1, Q1
Seja uma parametrização de uma curva, de classe , tal que velocidade e aceleração são linearmente independentes, contida no cilindro padrão . Prove a seguinte propriedade:
“O vetor normal associado à curva é sempre perpendicular ao eixo
do cilindro se e somente se a curva é equivalente a um movimento circular
ou helicoidal”
Passo 1
Faaala, pessoal! Uma curva contida no cilindro padrão é dada por:
Onde é uma constante e . Os vetores tangente e normal à curva são respectivamente:
Contudo, temos:
Com
Assim,
Queremos verificar as situações nas quais o vetor normal é perpendicular ao eixo do cilindro , logo:
Passo 2
Se , temos e constante. De forma que o movimento esteja restrito a um plano que intercepta o cilindro perpendicularmente. O que ocorre se, e somente se, o movimento esteja contido em um círculo (movimento circular).
Se , temos:
Nesse caso, substituindo em , temos:
Cujo traço caracteriza o movimento helicoidal. Finalizando a demonstração.
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)