1 – Encontre uma parametrização para os seguintes círculos com centro em e raio :

1. e
2. e

2 – Encontre uma parametrização para as seguintes curvas:

Item 1, (b):

Temos que

Substituindo nas equações paramétricas:

Item 2, (a):

Essa é a equação de um círculo de centro e raio :

Logo:

Item 2, (b):

Essa é a equação de uma elipse:

Colocando na forma :

Logo:

Substituindo na parametrização:

Item 2, (c):

Quando houver termos ao quadrado () misturados com termos lineares (), completamos quadrados.

O procedimento é esse:

1. Some um termo
2. Iguale com o quadrado
3. Compare termo a termo
4. Encontre e
5. Substitua e fatore:

Vamos completar esse quadrado:

1. Somar um termo :
2. Igualar com o quadrado :
3. Comparar termo a termo:
4. Encontrar e :

Pela primeira equação, vemos que . Substituindo na segunda, encontramos . Logo:

5. Substituir e fatorar:

Agora é só substituir o termo na expressão:

E essa expressão pode ser fatorada como :

Como já conhecemos e , basta substituir:

Vamos agora completar o outro quadrado:

1. Somar um termo :
2. Igualar com o quadrado :
3. Comparar termo a termo:
4. Encontrar e :

Pela primeira equação, vemos que . Substituindo na segunda, encontramos . Logo:

5. Substituir e fatorar:

Agora é só substituir o termo na expressão:

E essa expressão pode ser fatorada como . Como já conhecemos e , basta substituir:

Agora vamos substituir na equação original:

Dividindo por os dois lados:

Pronto! Chegamos à equação da elipse. Comparando com a equação :

Logo, a parametrização fica assim: