Dê uma parametrização para a curva

A parábola com vértice (-2, -1) , foco (-5, -1) e diretriz x = 1 .

(Dica: Uma par��bola com foco F e reta diretriz r , é constituída de todos os pontos

(x, y) cuja distância a F e a r são iguais. A distância de um ponto (x, y) à r é

a distância de (x, y) ao ponto em r mais perto de (x, y) . Deduza do Teorema de

Pitágoras, que ponto é este.)

Passo 1

Fala galera, tudo bem com vocês? Vamos para mais uma questão de Cálculo 2. Dessa vez estaremos trabalhando curvas parametrizadas.

Nosso objetivo é encontrar uma parametrização para a parábola com vértice ( − 2 ,   − 1 ) , foco ( − 5 ,   − 1 ) e diretriz   x   =   1 .

Passo 2

Nosso objetivo é encontrar uma parametrização para a parábola com vértice ( − 2 ,   − 1 ) , foco ( − 5 ,   − 1 ) e diretriz   x   =   1 .

Bem, pela definição de foco e diretriz temos que a nossa parábola pode ser dada pelo seguinte desenho:

Vamos calcular a coordenada de um ponto ( x , y ) qualquer. Pela definição, temos que esse ponto é equidistante ao foco e a reta diretriz. Logo, se r é a distância até o foco e d a distância até a diretriz, temos que:

d 2 = ( x - 1 ) 2

Enquanto temos que

r 2 = ( x + 5 ) 2 + ( y + 1 ) 2

Passo 3

Como essas distâncias são iguais

( x + 5 ) 2 + ( y + 1 ) 2 = ( x - 1 ) 2

⇒ 12 x + 24 = - ( y + 1 ) 2

⇒ x + 2 = - ( y + 1 ) 2 / 12

Logo, uma parametrização é y = t   e   x = - ( t + 1 ) 2 / 12 - 2

Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

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