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Exercícios Resolvidos de Raio e Intervalo de Convergência

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Enunciado

(2.0) Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência de

∑ n = 0 ∞ - 1 n x - 3 n 2 n + 1  

Passo 1

Opa, vamos lá. A questão está pedindo duas coisas pra gente: raio de convergência e o intervalo de convergência, certo?

Vamos começar calculando o raio de convergência pelo teste da razão.

a n + 1 a n = - 1 n + 1 x - 3 n + 1 2 n + 1 + 1 2 n + 1 - 1 n x - 3 n = x - 3 . 2 n + 1 2 n + 3  

Bom, agora é só analisar quando n → ∞ :

x - 3 . 2 + 1 n 2 + 3 n = x - 3 = L    

Maravilha, então do teste da razão sabemos que a nossa série converge para valores de L < 1 , ou seja, x - 3 < 1 . Com isso, o raio de convergência é R = 1 .

Passo 2

Agora que já sabemos o raio de convergência, podemos descobrir o intervalo de convergência, beleza?

Aí vamos conhecer os extremos:

x - 3 < 1     →     - 1 < x - 3 < 1  

2 < x < 4

Maravilha, agora que conhecemos os extremos, vamos analisar nos casos x = 2 e x = 4 .

Caso 1: x = 2 . A série fica:

  ∑ n = 1 ∞ - 1 n . - 1 n 2 n + 1 = ∑ n = 1 ∞ 1 2 n + 1

Bom, podemos fazer a comparação no limite com a série harmônica para sabermos se essa série diverge ou converge.

1 2 n + 1 1 n = n 2 n + 1

Quando n → ∞ , fica:

lim n → ∞ ⁡ 1 2 + 1 n = 1 2 ≠ 0

Logo, nesse extremo é divergente.

Agora, vamos analisar no outro extremo.

Caso 2: x = 4 . A série fica:

∑ n = 1 ∞ - 1 n . 1 2 n + 1

Bom, nesse caso, podemos testar a convergência pelo teste da série alternada.

b n + 1 = 1 2 n + 1 + 1 ≤ 1 2 n + 1

Logo, b n + 1 ≤ b n .

Agora, a segunda condição do teste das séries alternadas:

lim n → ∞ ⁡ b n = lim n → ∞ ⁡ 1 2 n + 1 = 0

Logo, no intervalo x = 4 , a série é convergente.

O nosso intervalo de convergência é (2,4]

Resposta

Raio de convergência: 1

Intervalo de convergência: (2,4]

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