UFMG – Cálculo 2 – 2022.1 – P2
3. Julgue em para os itens corretos e para os errados. Justificando os itens corretos e corrigindo os errados.
c) Se , então o intervalo de convergência da série de potências é
Passo 1
Fala aí, galerinhaa!
Nesse problema o enunciado nos dá uma série de potências
Com e ele afirma que o intervalo de convergência dessa série é . A gente vai ter que testar essa afirmação calculando esse intervalo de convergência, ok?
A série que o problema nos dá tem essa cara aqui:
Com . Com isso a gente também percebe que a nossa série é centrada em
A gente vai ter que encontrar o raio de convergência encontrando esse através do teste da razão:
E com ele a gente encontra o intervalo de convergência dessa série.Então vem comigo que a gente vai aprender isso é agora!!
#partiu
Passo 2
Vamos começar calculando esse limite aqui:
Calculando esse limite, a gente tem:
Para os valores de que nos deram, isso sempre vai resultar em então
E também o raio de convergência fica
Beleza!
Passo 3
Agora que a gente tem o raio de convergência, a gente tem que ver sobre o intervalo de convergência. Esse raio de convergência dos diz os possíveis valores de ao redor de onde a série está centrada em que a série é convergente. A gente tem uma estrutura tipo essa aqui:
O que a gente não pode esquecer é que naqueles pontos em branco e (os extremos do intervalo) a gente tem que dar uma atenção maior, ok?
Usando e temos o intervalo
Agora a gente tem que ver se esses extremos fazendo parte do intervalo de convergência também, beleza? A gente faz isso substituindo esses valores na série que foi dada
E a gente observa se ela converge ou não!
Passo 4
Para temos a série
Que é uma série alternada:
Com . Como , temos que o satisfaz as condições:
E isso significa que essa série é convergente!!
Então entra no intervalo de convergência.
Passo 5
Para temos a série
Para ver se essa série é convergente ou não, vamos comparar com a p-série.
Como sabemos que
E que , como a p-série:
É convergente para esses valores de então a série
Também é convergente! Ou seja, também entra no intervalo de convergência.Dessa maneira, o intervalo se torna:
Que é diferente daquele que o enunciado nos dá ☹
E aí resolvemos essa 😊 Vamos para a próxima??