Considere a função , definida pela série de potências
a) Determine o raio e o intervalo de convergência dessa série
Passo 1
a)
Pra estudar a convergência dessa série vamos olhar para
E então, devemos aplicar a definição de raio de convergência:
Resolvendo o limite,
Passo 2
Vamos separar em partes
Vamos ter então
Passo 3
Pelo teste da razão, para convergir, temos:
Resolvendo essa inequação
Passo 4
Vamos agora analisar os extremos do intervalo.
Para
Temos que a série é igual a:
Logo a série é divergente, afinal ela é a série harmônica.
Passo 5
Para
Essa é uma série alternada. Para ver se ela converge, vamos aplicar o teste da série alternada
Devemos ter indo para quando , e sendo decrescente.
Essas duas situações são verdadeiras, logo a série é convergente.
Passo 6
Logo temos que o raio de convergência é e o intervalo de convergência é