UFJF. Equações Diferenciais I. Prova AV1. 2022.2. Questão 2.
2 – Encontre para quais valores de a série
Converge.
Passo 1
Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉
Nessa questão, temos uma série dada por e percebemos que ela contém uma incógnita.
O que temos que descobrir é quais os valores que deve adotar para que a série seja convergente.
Tem ideia de como fazer isso?? 🤔
Que tal aplicarmos algum teste que nos dê o resultado?
Bora ver! 😁
Passo 2
Podemos aplicar o teste da razão em que calculamos que vai nos resultar em um valor , com isso se for menor que a série converge. Entendeu? 😉
No caso, e
Dessa forma, temos
Se então podemos reescrever como
Substituindo no limite
Simplificando a fração multiplicando os meios pelos extremos, temos
Perceba que podemos simplificar do numerador e do denominador
Tranquilo até aqui? 👀
Passo 3
Se o limite de uma constante é igual ao limite multiplicado pela constante, podemos tirar para fora do limite
Continuando o cálculo do limite, temos
Dividindo o numerador e o denominador por dentro da fração
Agora vemos que quando tente ao infinito, tende a já que temos um número pequeno sendo dividido por um número muito grande, portanto
Substituindo o resultado em
Vamos obter
Interessante, não é? 🤩
Passo 4
Agora, como dito no passo 2, o resultado do limite deve ser menor que para que a série seja divergente.
Simplificando essa inequação, temos
Dessa forma, podemos reescrever essa inequação como
Para , temos
Já para , temos
Com isso, vemos deve estar contido entre .
Bacana, não é?
Passo 5
Mas ainda não acabou! Falta apenas uma coisinha
Pelo teste da razão, quando o limite é igual a , não podemos afirmar nada a respeito ba convergência, ou seja, a série tanto pode convergir quanto pode divergir...
Dessa forma, temos que verificar os limites do intervalo de convergência e .
Para , nossa serie fica como
Como , podemos fazer com que
Perceba que nossa serie se transformou em um p-séries
Esse tipo de série converge se , mas se a série diverge!
No nosso caso, que é , logo, a série diverge se !
Então não faz parte do nosso intervalo de convergência!
Entendeu essa parte? 😉
Passo 6
Por fim, vamos analisar se
Fazendo a mesma relação , temos
Partindo para o teste das séries alternadas onde uma série dada por converge se decresce e se .
Mas também se converge, também converge, mas se diverge, não podemos afirmar nada.
No passo anterior vimos que diverge, então temos que verificar os outros requisitos.
No caso, reescrevendo nossa série como
Vemos que .
Conforme aumenta partindo de , o que acontece com o denominador?
Aumenta também, correto? Então conforme aumenta, o denominador de aumenta e consequentemente decresce!
Assim vemos que o primeiro requisito é atendido!
Agora calculando o limite de , temos
Então se o segundo requisito é satisfeito, a série converge!
Ou seja, para a série convergir, deve ser maior que e igual ou menor que .
É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍
