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Exercícios Resolvidos de Raio e Intervalo de Convergência

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Enunciado

Questão 2: Considere a série de potências

f x = ∑ m = 0 ∞ 2 x + 1 m m + 1 2

  1. Determine o intervalo de convergência desta série.

Passo 1

Poxa, essa série está em um formato estranho, não está? Então vamos primeiro colocar essa séria no formato usual de série de potências:

f x = ∑ m = 0 ∞ c m x - b m

Para fazer isso, vamos pegar esse termo do denominador aqui:

2 x + 1 m

E colocar o 2 em “evidência”:

2 x + 1 m = 2 x + 1 2 m =

2 m ⋅ x + 1 2 m

Então:

f x = ∑ m = 0 ∞ 2 m m + 1 2 x + 1 2 m

Veja então que se trata de uma série de potências centrada em x 0 = - 1 2 onde o termo da série é:

c m = 2 m m + 1 2

Podemos então encontrar o intervalo de convergência dessa série, utilizando o raio R de convergência dado por:

1 R = c m + 1 c m  

Vamos nessa?

Passo 2

Quem é esse termo c m + 1 ? SIM! É o termo futuro. Para encontrá-lo, basta substituir m por m + 1 em:

c m = 2 m m + 1 2               →                 c m + 1 = 2 m + 1 m + 2 2

Logo:

1 R = c m + 1 c m   =

2 m + 1 m + 2 2 2 m m + 1 2   = 2 m + 1 m + 2 2 ⋅ m + 1 2 2 m   =

2 m + 1 2 m ⋅ m + 1 2 m + 2 2   =

Como 2 m + 1 2 m = 2 m + 1 - m = 2 ...

2 ⋅ m + 1 2 m + 2 2   =

Esse termo pode sair do módulo, já que ele é positivo sempre devido ao expoente 2 . Além disso, esse expoente pode ser colocado desse jeito:

2 ⋅ m + 1 m + 2 2   =

Como o termo que realmente depende de m está dentro dos parênteses, podemos levar o limite para lá:

2 ⋅ m + 1 m + 2   2 =

Quem é esse limite? Sim! Se dividirmos em cima e em baixo por m , a gente fica com o m no denominador:

2 ⋅ m + 1 m m + 2 m   2 = 2 ⋅ 1 + 1 m 1 + 2 m   2 =

Fazer isso é legal, pois no infinito o 1 / m vai a 0 :

2 ⋅ 1 1   2 = 2 ⋅ 1 2 =

2

Logo, concluímos que...

1 R = c m + 1 c m   = 2                     →

R = 1 2

Passo 3

Com esse Raio de convergência, podemos entender quem é o intervalo I de convergência! Veja que sabemos que a série de potências está centrada em x 0 = - 1 2 , então...

I = x 0 - R , x 0 + R =

- 1 2 - 1 2 , - 1 2 + 1 2 =

- 1 ,   0

Ou em notação gráfica:

Agora, também temos que saber se os pontos de extremo - 1 e 0 também pertencem ou não a esse intervalo. Venha comigo!

Passo 4

Vamos começar com o x = - 1 . Para isso, basta substituir esse ponto na série e analisar a convergência da série em si:

f x = ∑ m = 0 ∞ 2 x + 1 m m + 1 2                 →

f - 1 = ∑ m = 0 ∞ 2 - 1 + 1 m m + 1 2 =

∑ m = 0 ∞ - 1 m m + 1 2

Para estudar essa série, podemos analisar pelo teste da série alternada. Para ela convergir, basta que o termo:

1 m + 1 2

Ser positiva e ir a 0 quando m vai ao infinito.

1 m + 1 2   = 0

E como temos um quadrado ali, trata-se de termos positivos. Portanto, a série converge em x = - 1 o fazendo pertencer ao intervalo de convergência da série de potências.

Passo 5

Vamos ver agora se podemos falar o mesmo para x = 0 :

f x = ∑ m = 0 ∞ 2 x + 1 m m + 1 2                 →

f 0 = ∑ m = 0 ∞ 1 m m + 1 2 =

∑ m = 0 ∞ 1 m + 1 2

Veja que essa é a série p com p = 2 , logo ela é convergente também.

Assim, concluímos que o intervalo de convergência não é:

I = ( - 1 ,   0 )

Mas sim:

I = [ - 1 ,   0 ]

Pois ele deve incluir os extremos ☺!

Resposta

I = [ - 1 ,   0 ]

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