Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Exercícios Resolvidos de Raio e Intervalo de Convergência

Ver Teoria
Exercício 261234567891011121314151617181920212223242527282930313233343536373839404142434445464748495051525354555657585960616263646566676869707172737475767778798081828384858687888990919293949596979899100

Enunciado

Questão 3: Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência de

∑ n = 2 ∞ - 1 n 4 n ln ⁡ n x n

Passo 1

Queremos então aqui determinar o raio e o intervalo de convergência da série de potência:

∑ n = 2 ∞ - 1 n 4 n ln ⁡ n x n

Bem, raio de convergência de uma série de potência é encontrar qual é o intervalo onde x deve estar para fazer a série convergir!

Para determinar o esse cara, podemos aplicar o teste da razão, onde sabemos que uma série só converge se...

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n < 1

Como a n + 1 é o termo da série adiantado...

lim n → ∞ ⁡ - 1 n + 1 4 n + 1 ln ⁡ ( n + 1 ) x n + 1 - 1 n 4 n ln ⁡ n x n =

lim n → ∞ ⁡ - 1 n + 1 x n + 1 4 n + 1 ln ⁡ ( n + 1 ) ⋅ 4 n ln ⁡ n - 1 n x n =

Lembre-se que x n + 1 = x n ⋅ x :

lim n → ∞ ⁡ - 1 n ⋅ - 1 1 ⋅ x n ⋅ x ( 4 n ⋅ 4 ) ln ⁡ ( n + 1 ) ⋅ 4 n ln ⁡ n - 1 n x n =

lim n → ∞ ⁡ - 1 1 ⋅ x ( 4 ) ln ⁡ ( n + 1 ) ⋅ ln ⁡ n 1 =

lim n → ∞ ⁡ - x 4 ⋅ ln ⁡ n ln ⁡ ( n + 1 ) =

lim n → ∞ ⁡ - x 4 ⋅ ln ⁡ n ln ⁡ ( n + 1 ) =

Como - x 4 não depende do limite, ele pode “vazar” para fora do limite...

- x 4 ⋅ lim n → ∞ ⁡ ln ⁡ n ln ⁡ ( n + 1 ) =

Sendo - 1 4 = 1 4 ...

1 4 x ⋅ lim n → ∞ ⁡ ln ⁡ n ln ⁡ ( n + 1 ) =

Até agora então, sabemos que...

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n < 1     →

1 4 x ⋅ lim n → ∞ ⁡ ln ⁡ n ln ⁡ ( n + 1 ) < 1

Vamos dar uma pausa aqui e calcular esse limite separado? Se pra gente não embolar as continhas, mas daqui a pouco a gente volta para essa desigualdade !

Passo 2

Queremos encontrar o valor de

lim n → ∞ ⁡ ln ⁡ n ln ⁡ ( n + 1 )

E mais, como queremos o limite em n e não tem nenhum termo de n fora do módulo, podemos passar o limite para dentro do módulo...

lim n → ∞ ⁡ ln ⁡ n ln ⁡ ( n + 1 )

Esse limite é discreto, pois n é um número inteiro. Porém, para efeito de cálculo, podemos considerar como se esse n fosse contínuo em todo real, e se ele é contínuo, podemos aplicar L ' H o p i t a l :

lim n → ∞ ⁡ ln ⁡ n ln ⁡ ( n + 1 ) = lim n → ∞ ⁡ ( ln ⁡ n ) ' ln ⁡ ( n + 1 ) ' = lim n → ∞ ⁡ 1 n 1 n + 1 =

lim n → ∞ ⁡ n + 1 n =

Aplicando mais uma vez o L’Hopital:

lim n → ∞ ⁡ n + 1 ' n ' = lim n → ∞ ⁡ 1 1 =

1

Passo 3

Voltando para onde tínhamos parado no passo 1 ...

1 4 x ⋅ lim n → ∞ ⁡ ln ⁡ n ln ⁡ ( n + 1 ) < 1

1 4 x ⋅ 1 < 1

x < 4  

Logo, o raio de convergência é 4 !

Passo 4

Agora, quanto ao intervalo de convergência... Bem... Sabemos que o x tem que estar entre - 4 e 4 , para satisfazer o módulo...

x < 4       →           - 4 < x < 4

Esse é basicamente o intervalo de variação de x , contudo, tem um detalhe! Será que as pontas, x = 4 e x = - 4 fazem a série convergir também? Infelizmente não tem como de descobrir se não jogarmos na série e testar! Vamos nessa?!

Passo 5

Primeiro para x = - 4 ...

∑ n = 2 ∞ - 1 n 4 n ln ⁡ n x n = ∑ n = 2 ∞ - 1 n 4 n ln ⁡ n - 4 n =

Como - 4 n = - 1 n ⋅ 4 n

∑ n = 2 ∞ - 1 n ⋅ - 1 n ⋅ 4 n 4 n ln ⁡ n = ∑ n = 2 ∞ - 1 2 n ln ⁡ n =

Como 2 n é um termo par, então - 1 2 n = 1 ...

∑ n = 2 ∞ 1 ln ⁡ n

Para testar essa série aí, temos que ter uma espécie de feeling, ou seja, temos que ter uma ideia se ala converge ou diverge para aplicarmos o teste mais adequado. Por exemplo, no caso dessa série aí, como essa séria me lembra duma série harmônica:

∑ n = 2 ∞ 1 n           ( s é r i e   c l á s s i c a   q u e   d i v e r g e   )

Eu estou com um feeling de que a nossa série diverge! Sentiu também? Como as duas são muito parecidas, podemos utilizar uma comparação! Veja que, para qualquer valor de n > 2 ...

n ≥ ln ⁡ n           J á   q u e       e n > n  

Então...

1 n ≤ 1 ln ⁡ n

Logo...

∑ n = 2 ∞ 1 n ≤ ∑ n = 2 ∞ 1 ln ⁡ n

Como a série que está em baixo é a série harmônica que diverge, a série que está em cima também diverge, saca? Logo, a função não se define em x = - 4

Passo 6

Agora vamos testar para x = 4 ...

∑ n = 2 ∞ - 1 n 4 n ln ⁡ n x n = ∑ n = 1 ∞ - 1 n 4 n ln ⁡ n 4 n =

∑ n = 1 ∞ - 1 n ln ⁡ n

Veja que é uma série alternada! E pelo teste de séries alternadas, se o termo da série é positivo e decrescente, então a série deve convergir. No nosso caso, como o termo sucessor é sempre menor que o anterior e ela é positiva...

1 n > 1 n + 1

Logo, a nossa série converge para x = 4 !

Passo 7

A conclusão desses dois passos é que o intervalo de variação de x é o intervalo que tínhamos descoberto no teste para o raio de convergência:

- 4 < x < 4

Incluindo o ponto x = 4 ...

- 4 < x ≤ 4

Resposta

R a i o   d e   c o n v e r g ê n c i a = 4

I n t e r v a l o   d e   c o n v e r g ê n c i a       →           - 4 < x ≤ 4

Exercícios de Livros Relacionados

Suponha que a série de potências ∑ c n x - a n satisfaça c n ≠ 0 para todo n . Mostre que, se l i m n → ∞c n c n + 1 existir, então ele será igual ao raio de convergência da série de potências.
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série: ∑ n = 1 ∞ - 2 n x n n 4
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série. ∑ n = 0 ∞ - 1 n x - 3 n 2 n + 1
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série: ∑ n = 1 ∞ n 2 x n 2 ∙ 4 ∙ 6 ∙ … ∙ ( 2 n )
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série: ∑ n = 2 ∞ - 1 n x n 4 n ln ⁡ n