Para cada série de potência abaixo calcular o raio de convergência e o intervalo de convergência:
a)
b)
Passo 1
a) Cara, repara que o nosso termo geral é um produto de dois termos. E esses dois termos tem no expoente o . Isso é uma dica para usarmos o teste da raiz.
Ele diz que se a nossa série tem um termo geral . Se fizermos
E então a série converge, mas se , então a série diverge. Vamos avaliar então para que intervalo a gente tem .
Vamos tentar aplicar isso na nossa série!
Passo 2
Nossa série é
Então o termo geral dela é
Tirando o módulo disso e depois a raiz, esse termo com menos 1 some e o expoente do outro termo também vai mudar
Aplicando o limite
Passo 3
Vamos resolver esse limite que ficou ali aplicando e depois uma exponencial. Aí não muda a expressão, só a cara dela
Passo 4
Para termos uma série convergente, precisamos que esse resultado seja menor que 1:
Daí a gente tira que nosso raio de convergência é . E nele a série converge absolutamente. O intervalo de convergência a gente acha fazendo umas continhas com o centro dessa série, no caso .
Agora a gente precisa ver se a nossa série nesses pontos converge absolutamente também ou não para saber se temos um intervalo fechado ou aberto. Como queremos saber se nesses pontos, a série converge absolutamente, vamos colocar o módulo no termo geral, tá?
- Limitante inferior do intervalo:
E isso é uma p-série com , então ela converge.
- Limitante superior do intervalo:
E isso é uma p-série com também, então ela converge.
Aí a gente pode dizer que nosso raio de convergência é . E que o intervalo de convergência é , um intervalo fechado, beleza?
Passo 5
b) Cara, a gente não tem muitos termos elevado a aqui, só e :
Vamos usar então o teste da razão. Ele diz que se a nossa série tem um termo geral . Se fizermos
E então a série converge, mas se , então a série diverge. Vamos avaliar então para que intervalo a gente tem .
Vamos tentar aplicar isso na nossa série!
Passo 6
Então o termo geral dela é
E fica
E aí a gente calcula esse limite
Passo 7
Para termos uma série convergente, precisamos que esse resultado seja menor que 1:
Daí a gente tira que nosso raio de convergência é . E nele a série converge. O intervalo de convergência a gente acha fazendo umas continhas com o centro dessa série, no caso .
Agora a gente precisa ver se a nossa série nesses pontos converge também ou não para saber se temos um intervalo fechado ou aberto.
- Limitante inferior do intervalo:
O expoente do , fica ímpar, então ali só dá . E isso é uma p-série com , então ela diverge. (essa é a série harmônica)
- Limitante superior do intervalo:
Essa série converge condicionalmente (a gente pode usar o teste da série alternada nela para provar).
Aí a gente pode dizer que nosso raio de convergência é . E que o intervalo de convergência é , beleza?
Obs: Percebe que na letra a) a gente testou a convergência absoluta dos extremos do intervalo (colocando os módulos em ), mas aqui a gente não fez isso? É porque nessa letrinha, nossas séries não tinham convergência absoluta, então a gente foi procurar logo a condicional.
Na prova cê faz assim: testa as séries para ver se tem convergência absoluta, se não tiver, testa a condicional, usando esse teste da série alternada, tá bem?
Resposta
a)
b)