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Exercícios Resolvidos de Raio e Intervalo de Convergência

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Enunciado

UFRJ – Cálculo 4 – 2020.2 – P1 – M. Escolha

8 . Calcular o raio de convergência da seguinte série de potências

∑ k = 1 + ∞ 7 k k 6 k k 3 + 1 x - 6 n

Na resposta, é permitido um erro pra cima ou pra baixo de 0.01 .

Passo 1

Vem comigo que a gente detona essa juntos!

Para encontramos o raio de convergência, vamos usar o teste da razão, onde temos que:

lim k → ∞ ⁡ a k + 1 a k < 1

Vamos aplicar isso ao que temos e ver os intervalos de x para que isso seja verdade.

Passo 2

Vamos lá então, temos:

lim k → ∞ ⁡ a k + 1 a k = lim k → ∞ ⁡ 7 k + 1 ( k + 1 ) x - 6 n + 1 6 k + 1 ( k + 1 ) 3 + 1 ⋅ 6 k k 3 + 1 7 k k x - 6 n

= lim k → ∞ ⁡ 7 k + 1 k 3 + 1 6 k + 1 3 + 1 k ( x - 6 )

= 7 6 ( x - 6 ) lim k → ∞ ⁡ ( k + 1 ) k 3 + 1 ( k + 1 ) 3 + 1 k

Podemos separar esse limite em um produto de limites, assim:

= 7 6 x - 6 lim k → ∞ ⁡ k + 1 k ˙ lim k → ∞ ⁡ k 3 + 1 k 3 + 3 k 2 + 3 k + 2

= 7 6 x - 6 lim k → ∞ ⁡ k 1 + 1 k k ˙ lim k → ∞ ⁡ k 3 1 + 1 k 3 k 3 1 + 3 k + 3 k 2 + 2 k 3

= 7 6 x - 6 lim k → ∞ ⁡ 1 + 1 k ˙ lim k → ∞ ⁡ 1 + 1 k 3 1 + 3 k + 3 k 2 + 2 k 3

Quando k → ∞ , temos que:

lim k → ∞ ⁡ 1 + 1 k = 1

lim k → ∞ ⁡ 1 + 1 k 3 1 + 3 k + 3 k 2 + 2 k 3 = 1

Então temos que:

7 6 x - 6 < 1

x - 6 < 6 7 = 0,86

Logo nosso raio de convergência é 0,86 .

Resposta

R = 0,86

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