PUC Rio; Cálculo 4; Prova G2 de 2019.1
Questão 2 (Justifique todas as suas respostas):
Determine uma série de potências com intervalo de convergência
Passo 1
Bem, existem aqui váaaaarias séries que podem satisfazer essa condição. Vamos apenas buscar uma delas, ok?
Primeiro perceba que essa série deve estar centralizada em (ponto médio do intervalo de convergência):
O raio , portanto, deve ser igual a .
Essa série vai ter mais ou menos esse formato aqui:
Passo 2
Sabemos da definição de raio que ele deve satisfazer essa condição aqui...
Então...
Se escolhermos um , por exemplo, ...
Como ...
O que de fato é verdade!
Passo 3
Então a série...
Satisfaz a condição de o raio ser igual a , mas será que ela inclui os extremos?
Se substituirmos ...
Perceba que ela não inclui , já que essa série é divergente. Mas poderíamos transformar essa série convergente em se tivéssemos um no denominador...
Afinal, essa é uma série alternada aonde vai a e é decrescente (pelo teste da série alternada só pode convergir). Colocar esse aí no denominador significa alterar na seguinte maneira:
Mas aí vem a seguinte pergunta: será que essa modificação altera o raio?
Passo 4
Para verifica, vejamos...
Então...
Como no infinito vai a , então...
Ou seja, a modificação não altera o Raio, ao mesmo tempo em que faz incluir o na resposta. Mas antes de terminar o problema e dizer quem deve ser a série que satisfaz a condição do intervalo ser , devemos averiguar se ela não contem o como o intervalo desejado nos manda!
Passo 5
Para verificar isso, basta fazer como fizemos com o , substituir e verificar se converge ou não. Substituindo então o na nossa série...
OPA! Essa é a série harmônica. Ela converge?
NÃO!!!
Então de fato podemos concluir que uma série que possui o intervalo de convergência é...
Claro que podem existir outras, então não fique assustado se um dia você vir esse exercício novamente, mas com respostas diferentes. ;)