Questão 2 (Justifique todas as suas respostas):

Determine uma série de potências com intervalo de convergência [-2, 2]

Passo 1

Bem, existem aqui váaaaarias séries que podem satisfazer essa condição. Vamos apenas buscar uma delas, ok?

Primeiro perceba que essa série deve estar centralizada em 0 (ponto médio do intervalo de convergência):

O raio R , portanto, deve ser igual a 2 .

Essa série vai ter mais ou menos esse formato aqui:

∑ n = 1 ∞ a n   x n

Passo 2

Sabemos da definição de raio que ele deve satisfazer essa condição aqui...

R = lim n → ∞ ⁡ a n a n + 1

Então...

lim n → ∞ ⁡ a n a n + 1 = 2

Se escolhermos um a n , por exemplo, a n = 1 / 2 n ...

lim n → ∞ ⁡ 1 2 n 1 2 n + 1 = 2   →

lim n → ∞ ⁡ 2 n + 1 2 n = 2

Como 2 n + 1 = 2 n ⋅ 2 ...

lim n → ∞ ⁡ 2 n 2 2 n = 2   →

lim n → ∞ ⁡ 2 = 2

O que de fato é verdade!

Passo 3

Então a série...

∑ n = 1 ∞ 1 2 n   x n

Satisfaz a condição de o raio ser igual a 2 , mas será que ela inclui os extremos?

Se substituirmos x = - 2 ...

∑ n = 1 ∞ 1 2 n   - 2 n = ∑ n = 1 ∞ - 1 n 2 n 2 n =

∑ n = 1 ∞ - 1 n

Perceba que ela não inclui x = - 2 , já que essa série é divergente. Mas poderíamos transformar essa série convergente em x = - 2 se tivéssemos um n no denominador...

∑ n = 1 ∞ - 1 n n

Afinal, essa é uma série alternada aonde 1 / n vai a 0 e é decrescente (pelo teste da série alternada só pode convergir). Colocar esse n aí no denominador significa alterar a n na seguinte maneira:

a n = 1 2 n               P a s s a   a   s e r →                 a n = 1 n 2 n

Mas aí vem a seguinte pergunta: será que essa modificação altera o raio?

Passo 4

Para verifica, vejamos...

R = lim n → ∞ ⁡ a n a n + 1

Então...

R =   lim n → ∞ ⁡ 1 n 2 n 1 n + 1 2 n + 1 →

R =   lim n → ∞ ⁡ n + 1 2 n 2 n 2 n →

R = 2   lim n → ∞ ⁡ n + 1 n →

R = 2   lim n → ∞ ⁡ 1 + 1 n →

Como no infinito 1 / n vai a 0 , então...

R = 2   lim n → ∞ ⁡ 1 →

R = 2

Ou seja, a modificação não altera o Raio, ao mesmo tempo em que faz incluir o - 2 na resposta. Mas antes de terminar o problema e dizer quem deve ser a série que satisfaz a condição do intervalo ser - 2 ,   2 , devemos averiguar se ela não contem o 2 como o intervalo desejado nos manda!

Passo 5

Para verificar isso, basta fazer como fizemos com o x = - 2 , substituir e verificar se converge ou não. Substituindo então o x = 2 na nossa série...

∑ n = 1 ∞ a n   x n     →

∑ n = 1 ∞ 1 n 2 n   2 n →

∑ n = 1 ∞ 1 n

OPA! Essa é a série harmônica. Ela converge?

NÃO!!!

Então de fato podemos concluir que uma série que possui o intervalo de convergência - 2,2 é...

∑ n = 1 ∞ 1 n 2 n   x n

Claro que podem existir outras, então não fique assustado se um dia você vir esse exercício novamente, mas com respostas diferentes. ;)

Resposta

∑ n = 1 ∞ 1 n 2 n   x n

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