Séries de potência
Determine para quais valores de a série converge:
Passo 1
Normalmente para fazermos o intervalo de convergência temos que ter
Mas temos um n o expoente ali, então temos que usar o teste da razão completo.
Vamos ter
Passo 2
Temos que achar o limite que sobrou ali
Podemos falar que aquilo dentro do limite é
Então
E a gente já sabe que o limite de para é a exponencial! Então:
Passo 3
Assim temos que, pelo teste da razão
A série converge, ou seja,
Temos o nosso intervalo de convergência, temos que ver nos extremos
Passo 4
Começando com
Vamos ter
Cara, essa nossa série é mutcho loca. Aquele no expoente nos faz pensar em usar o teste da razão. Mas não vale a pena aqui, quando usamos o da raiz e deu , o da raiz vai dar a mesma coisa.
Vamos achar o limite desse termo geral
Passo 5
Se temos
Além disso,
Esse cara que achamos pode ser escrito assim
Que vai nos dizer que
Se pegarmos o limite desse módulo com , ele vai para .
Mas o que isso quer dizer? Esse termo no denominador, é crescente, então ele se aproxima de por valores menores que .
Assim, vamos ter
Por mais que ele vá para , ele vai se aproximar por valores maiores.
Isso vai dizer que
Beleza, mas isso n diz absolutamente nada né?
Já vimos que
- Os termos são crescentes
Assim, se vai para algum valor com , ele precisa ser necessariamente maior que . E consequentemente o seu limite é maior que .
Isso nos diz que ela diverge, pelo teste da divergência.
Passo 6
Agora, para o outro valor
Vamos ter
Po, deu igual. Sucesso!
Ela diverge, então nosso intervalo de convergência vai ser