( b ) Determine o raio de convergência da série de potências

∑     - 1 n 3 n   n x n

Passo 1

Para encontrar o raio de convergência da série, vamos usar o Teste da Razão. Sabemos que em ∑ c n x n ,

c n = - 1 n 3 n   n

c n + 1 = - 1 n + 1 3 n + 1   n + 1

Passo 2

Logo:

L = lim n → ∞ ⁡ c n + 1 c n

L = lim n → ∞ ⁡ - 1 n + 1 3 n + 1   n + 1 - 1 n 3 n   n

L = lim n → ∞ ⁡ 1 3 n + 1   n + 1 3 n   n

L = lim n → ∞ ⁡ 1 3 n n + 1   = 1 3

Passo 3

Para que a série convirga, precisamos de L < 1 . Ótimo! Então, o raio de convergência é

R = 1 L = 1 1 / 3 = 3

Resposta

R = 3 .

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