Séries de Potência
Determine o raio de convergência e o intervalo de convergência da série
Passo 1
Bem temos uma série ali em cima, como temos o isso é uma série de potência.
Para descobrir o raio de convergência, vamos aplicar o teste da razão. Já que temos e não vamos usar o teste na forma normal.
Então
Podemos separar esse limite em duas partes
E
Passo 2
Vamos resolver o nosso primeiro limite que separei
Aqui temos um polinômio sobre outro, então vamos colocar o maior grau em evidência
Passo 3
Agora falta o outro limite dessa parada
Podemos dar uma arrumada
Então queremos na verdade o limite
Como o logaritmo vai para um cara positivo com podemos tirar o módulo
Temos uma indeterminação , então vamos aplicar a regra de L’Hospital
Então
Passo 4
Voltando para o limite que achamos antes
Essa série vai convergir devemos ter esse limite sendo menor que , então
Isso nos diz que
E achamos o intervalo de convergência e o raio de convergência.
O raio de convergência vai ser
Passo 5
Para fechar o intervalo de convergência temos que testar os extremos
Vamos começar com
Repara que temos um logaritmo nessa parada, e além disso temos que é a derivada de , isso nos dá uma dica de que temos que o usar o teste da integral.
Primeiro vamos fazer
Assim
Vamos ao teste da integral, como essa série começa no vamos fazer a integral começando no também
Para resolvermos essa integral devemos fazer
Passo 6
Vamos fazer a integral
Vamos usar substituição simples
Então a nossa integral vai ficar
Vamos ter
Voltando para
Passo 7
Vamos voltar para a integral definida que tínhamos
Como essa integral converge a nossa série com também converge.
Passo 8
Vamos ver agora como fica com
Essa é a mesma série de antes, então ela também converge e o intervalo de convergência vai ser