Considere a sequência a n n ϵ N satisfazendo lim n → + ∞ ⁡ | a n | = π . Determinar o raio de convergência da série de potências

∑ n = 0 + ∞ a n x n n !

Passo 1

Como temos potência e fatorial na expressão do termo da nossa série, vamos aplicar o Teste da razão, que é bom para esses casos. Vamos usá-lo na forma especial para Séries de potências, ok? Temos o seguinte:

lim n → ∞ ⁡ c n + 1 c n = L

Onde R = 1 / L . Vamos aplicar isso no problema:

c n = a n n !

c n + 1 = a n + 1 n + 1 !

Então, temos o seguinte limite:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 n + 1 ! × n ! a n =

= lim n → ∞ ⁡ a n + 1 n + 1 n ! × n ! a n =

= lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n × 1 n + 1 = π π × 0 = 0

Como o limite de a n com n tendendo a infinito é π , tanto a n como a n + 1 terão limite π . Com o denominador tendendo a infinito, o limite da fração vai ser zero. Então o limite dessa expressão toda é zero.

Passo 2

Como R = 1 / L , temos:

R = 1 0 = ∞

Logo, a série converge para qualquer valor de x .

Resposta

R = ∞

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