Séries de potências
Considere a sequência satisfazendo . Determinar o raio de convergência da série de potências
Passo 1
Como temos potência e fatorial na expressão do termo da nossa série, vamos aplicar o Teste da razão, que é bom para esses casos. Vamos usá-lo na forma especial para Séries de potências, ok? Temos o seguinte:
Onde . Vamos aplicar isso no problema:
Então, temos o seguinte limite:
Como o limite de com tendendo a infinito é , tanto como terão limite . Com o denominador tendendo a infinito, o limite da fração vai ser zero. Então o limite dessa expressão toda é zero.
Passo 2
Como , temos:
Logo, a série converge para qualquer valor de .
Resposta
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Suponha que a série de potências ∑ c n x - a n satisfaça c n ≠ 0 para todo n . Mostre que, se l i m n → ∞c n c n + 1 existir, então ele será igual ao raio de convergência da série de potências.
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série: ∑ n = 1 ∞ - 2 n x n n 4
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série. ∑ n = 0 ∞ - 1 n x - 3 n 2 n + 1
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série: ∑ n = 1 ∞ n 2 x n 2 ∙ 4 ∙ 6 ∙ … ∙ ( 2 n )
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série: ∑ n = 2 ∞ - 1 n x n 4 n ln n