Considere a sequência satisfazendo . Determinar o raio de convergência da série de potências
Passo 1
Como temos potência e fatorial na expressão do termo da nossa série, vamos aplicar o Teste da razão, que é bom para esses casos. Vamos usá-lo na forma especial para Séries de potências, ok? Temos o seguinte:
Onde . Vamos aplicar isso no problema:
Então, temos o seguinte limite:
Como o limite de com tendendo a infinito é , tanto como terão limite . Com o denominador tendendo a infinito, o limite da fração vai ser zero. Então o limite dessa expressão toda é zero.
Passo 2
Como , temos:
Logo, a série converge para qualquer valor de .