UERJ, Sem Campus, Cálculo II, Listas de C2 - Profª Aline Lunkes - Lista 8 - Série de Potências, Questão 2.15
Encontre uma representação em série de potências para a função e determine o raio de convergência.
15)
Passo 1
Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão quer que encontremos uma representação em série para a seguinte função:
Para isso, devemos analisar uma função parecida que pode ser dada também em uma série convertida. No caso temos:
Sabendo dessa função a gente pode manipular a nossa função para descobrirmos a nossa série (de forma que a nossa série tenha uma integral equivalente)!!
Em seguida, devemos determinar o intervalo de convergência dessa série que descobriremos.
Para isso, devemos analisar a razão da série geométrica resultante na expressão geral da nossa série e fazer seu módulo ser menor que (para a série convergir).
Não entendeu? Então bora junto aqui!!
😉
Passo 2
Então... Reescrevendo a nossa função para que possamos comparar com a nossa função exemplo e manipulando de forma que coloquemos uma integral, temos:
Veja que a expressão dentro da integral pode ser entendida como a soma de uma série geométrica de primeiro termo e razão , ou seja:
Onde é uma constante de integração.
Passo 3
Agora, se usarmos a função original e fizermos , descobriremos o valor da constante :
Assim, podemos reescrever nosso somatório da seguinte forma:
Passo 4
Agora, para determinar o raio de convergência, sabendo da nossa razão geométrica, temos:
Ou seja, o raio de convergência é .
Entendeu direitinho? Responde aee ;)
