UFJF – Equações Diferenciais – Lista 9 – Questão 4l
Verifique se cada uma das afirmações abaixo é verdadeira ou falsa. Justifique provando as verdadeiras e apresentando um contraexemplo para as falsas
tem raio de convergência , então as séries também tem raio de convergência
Passo 1
Olá, tudo tranquilo? Precisamos mostrar que se essa série tem raio de convergência
Essas outras aqui
E essa também
Tem o mesmo raio! Você lembra o que é raio de convergência?
Quando temos uma série de potências, o valor de pode variar, e com isso resultar em uma série numérica divergente! E não queremos isso!
Aí surge o conceito de raio de convergência: é a distância em torno da qual a série é feita (no nosso caso em torno de ), na qual qualquer valor de que pegarmos irá resultar em uma série convergente
Mas você lembra como encontrar esse tal de raio de convergência?
Dizemos que uma série converge absolutamente quando o módulo da série converge! E aqui você pode usar o teste da Razão para Convergência Absoluta!
Ele nos diz que: supondo uma série de potências do tipo
Dizemos que ela é convergente se
Então a ideia aqui é determinar esse limite e verificar para quais valores de isso acontece!
Desse resultado vamos obter o raio de convergência! Nosso raio será !
Mas pode ficar tranquilo, vou fazer passo a passo com você!
Vamos começar?
Passo 2
Nossa série inicial é a seguinte
Sabemos que ela converge, então
E o limite é
Assim o raio de convergência é
Tranquilo até aqui?
Agora precisamos fazer uma análise parecida com as outras duas séries!
Beleza?
Passo 3
Agora nossa missão é avaliar se essa série aqui
possui o mesmo raio de convergência. Vamos proceder de forma similar: calcular a razão e simplificar:
Agora avaliar o limite quando
Como o limite do produto é o produto dos limites, podemos separar em dois limites: um que a gente conhece o resultado (em termos de ) e outro apenas em termos de e que podemos calcular:
Beleza?
Precisamos ainda calcular aquele limite mais à esquerda (como é só positivo, podemos retirar o módulo):
Oba! Temos que nosso limite é realmente menor do que , então podemos dizer que esse é o raio de convergência
E é igual ao da primeira série!
Passo 4
Por fim precisamos testar a terceira série:
Agora avaliar o limite quando
Podemos separar em dois outros limites, bem como fizemos no passo :
Tranquilo até aqui?
Vamos calcular o limite mais à esquerda em separado (retirando o módulo pois só temos positivo)
Estamos nos encaminhando para o fim! Retornando ao nosso limite vemos que é igual ao das outras séries! Então vemos que o raio de convergência é o mesmo!
Provamos que a afirmação está correta!
Passo 5
Recapitulando, nossa série:
Essas outras aqui:
Possuem o mesmo raio de convergência
Você percebe que a segunda série é a derivada da primeira e a terceira é a integral da primeira?
Isso mesmo! Todas as derivadas e integrais da série vão ter o mesmo raio de convergência! Isso é um teorema bem interessante da gente saber!
Ufa, terminamos! #partiu praticar mais?