Séries de potências
Calcule o termo geral da expansão em série de potências de da função abaixo e ache seu intervalo de convergência.
Passo 1
Se queremos escrever o termo geral em série de potências de , precisamos que apareça esse termo na nossa função. Então vamos começar escrevendo que:
E então veja que se escrevermos:
E resolvendo o sistema:
Encontramos: e .
Reescreveremos a função assim:
Passo 2
Como queremos que apareça o termo , vamos escrever que:
E agora repare que podemos escrever essa função como uma soma de uma Progressão Geométrica, cuja razão será descoberta a seguir:
Veja que:
E também:
E esses termos da forma:
São exatamente a fórmula da soma de uma PG de razão e primeiro termo igual a . Portanto, podemos escrever que:
Passo 3
E agora voltando pra expressão de :
E colocando o termo que queremos em evidência:
Passo 4
Quanto ao intervalo de convergência, devemos calcular o raio de convergência que será dado por:
Com . Então:
E como o centro da expansão da série é . Os extremos do intervalo serão e . Basta saber se esses extremos pertencem ao intervalo ou não.
Passo 5
Substituindo os valores dos extremos no lugar de na expansão da série e estudando a convergência, concluímos que:
Pra , diverge! E pra , diverge!