UFCG, Sem Campus, Cálculo Diferencial e Integral II, 2º Estágio - 2022.1, Questão 1.
1 – Determine a série de Maclaurin da função , assim como o intervalo de convergência absoluta de tal série.
Passo 1
Iae, como vai? Essa questão está um pouco complicada? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍
Nessa questão estamos interessados em obter a série de Maclaurin para a função e também o intervalo de convergência dessa série.
E aí! Como podemos fazer isso? 🤔
Podemos obter essa série manipulando a função já que não sabemos qual e a série de Maclaurin para mas sabemos para , não é?
Correto? 😁
Passo 2
Agora se escrevermos como
Podemos obter o resultado de maneira mais fácil.
Se
Então a série para é
Reescrevemos como
Substituindo em , vamos obter
Escrevendo como e passando para dentro do somatório, temos
Como , então...
E essa é a série de Maclaurin que estamos procurando! 😉
Passo 3
Agora para obter o intervalo de convergência vamos aplicar o teste da razão
Se a série diverge, se a série converge e se , não podemos dizer nada.
Vamos simplificar e escrever o primeiro termo de . Fazendo
Perceba que podemos cortar , , e Resultando em
Assim, temos que se deve ser então
Portanto, o intervalo de convergência para essa série é dado por
E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí
