Determine o raio de convergência da série

∑ k = 1 ∞ ( x - 1 ) k 2 k k

Passo 1

Eaew, tudo bem?

Nós queremos achar o raio de convergência da seguinte série de potências

∑ k = 1 ∞ ( x - 1 ) k 2 k k

Primeiro, o que é o raio de convergência? É um conjunto que estabelece um intervalo para x tal que a série acima é convergente! Então, vamos procurar algum teste que determine a convergência e usar isso para determinar o nosso raio de convergência! Bora lá!

Passo 2

Um teste que comumente é bastante útil para determinar raios de convergência é o teste da razão, o teste da razão é tal que

L   =   l i m k → ∞ | a k + 1 a k |

em que as condições de convergência são: para L < 1 a série é absolutamente convergente, para L > 1 , ou L = ∞ a série é divergente, e para L = 1 , o teste é inconclusivo! Temos que o nosso a k é dado por

a k = ( x - 1 ) k 2 k k

e, também temos que

a k + 1 = ( x - 1 ) k + 1 2 k + 1 ( k + 1 )

Portanto, precisamos resolver o seguinte limite

L   =   l i m k → ∞ | ( x - 1 ) k + 1 / 2 k + 1 ( k + 1 ) ( x - 1 ) k 2 k k |

Vamos começar a reescrever o nosso limite! Bora lá!

Passo 3

Primeiro, vamos usar que ( x - 1 ) k + 1 = ( x - 1 ) k ( x - 1 ) 1 , da mesma forma 2 k + 1 = 2 k 2 1 temos então que

l i m k → ∞ | ( x - 1 ) k + 1 / 2 k + 1 ( k + 1 ) ( x - 1 ) k 2 k k | = l i m k → ∞ | ( x - 1 ) k ( x - 1 ) / 2 k 2 ( k + 1 ) ( x - 1 ) k / 2 k k | = l i m k → ∞ | ( x - 1 ) 2 k ( k + 1 ) |

Como a variável do limite é k , temos que

l i m k → ∞ | ( x - 1 ) k 2 ( k + 1 ) | = | ( x - 1 ) 2 | l i m k → ∞ | k ( k + 1 ) |

como este é um limite no infinito de uma razão de polinômios, vale a pena dividirmos o numerador e o denominador pelo termo de maior grau, em nosso caso k , temos que

| ( x - 1 ) 2 | l i m k → ∞ | k ( k + 1 ) | = | ( x - 1 ) 2 | l i m k → ∞ | k / k ( k + 1 ) / k | = | ( x - 1 ) 2 | l i m k → ∞ | 1 1 + 1 / k |

Avaliando o limite, temos que

| ( x - 1 ) 2 | l i m k → ∞ | 1 1 + 1 / k | = | ( x - 1 ) 2 | | 1 1 + 1 / ∞ | = | ( x - 1 ) 2 |

Ou seja, temos que o nosso limite é

L = | x - 1 2 |

Agora, precisamos avaliar as condições sob as quais a série será convergente! Bora lá!

Passo 4

Nós precisamos pelas condições do teste da razão, que L < 1 , portanto, temos a seguinte desigualdade

| x - 1 2 | < 1

Como esta é a função módulo, ela toma valores de x e nos devolve o seu valor positivo, portanto, não só os valores devem ser menores que 1 , eles também devem obedecer a desigualdade

- 1 < x - 1 2 < 1

Multiplicando os dois lados por 2 , temos que

- 2 < x - 1 < 2

Somando 1 em toda a desigualdade obtemos o intervalo para x como

- 1 < x < 3

Isso não nos dá uma versão prévia e suficiente para o nosso intervalo de convergência como

I = ( - 1,3 )

Este não é o intervalo de convergência, pois precisaríamos verificar os extremos, mas com esta informação já podemos obter o raio de convergência. Como temos de - 1 até 3 , um total de cinco inteiros, o centro de convergência é x = 1 , e o raio é r = 2 . A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

r = 2

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Suponha que a série de potências ∑ c n x - a n satisfaça c n ≠ 0 para todo n . Mostre que, se l i m n → ∞c n c n + 1 existir, então ele será igual ao raio de convergência da série de potências.
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