Determine o raio de convergência da série

Um teste que comumente é bastante útil para determinar raios de convergência é o teste da razão, o teste da razão é tal que

em que as condições de convergência são: para a série é absolutamente convergente, para , ou a série é divergente, e para , o teste é inconclusivo! Temos que o nosso é dado por

e, também temos que

Portanto, precisamos resolver o seguinte limite

Vamos começar a reescrever o nosso limite! Bora lá!

Primeiro, vamos usar que , da mesma forma temos então que

Como a variável do limite é , temos que

como este é um limite no infinito de uma razão de polinômios, vale a pena dividirmos o numerador e o denominador pelo termo de maior grau, em nosso caso , temos que

Avaliando o limite, temos que

Ou seja, temos que o nosso limite é

Agora, precisamos avaliar as condições sob as quais a série será convergente! Bora lá!

Nós precisamos pelas condições do teste da razão, que , portanto, temos a seguinte desigualdade

Como esta é a função módulo, ela toma valores de e nos devolve o seu valor positivo, portanto, não só os valores devem ser menores que , eles também devem obedecer a desigualdade

Multiplicando os dois lados por , temos que

Somando em toda a desigualdade obtemos o intervalo para como

Isso não nos dá uma versão prévia e suficiente para o nosso intervalo de convergência como

Este não é o intervalo de convergência, pois precisaríamos verificar os extremos, mas com esta informação já podemos obter o raio de convergência. Como temos de até , um total de cinco inteiros, o centro de convergência é , e o raio é . A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!