UFRJ – Cálculo 4 – 2020.2 – P1 – M. Escolha
. Sobre a série de potências podemos afirmar que seu raio de convergência e seu intervalo de convergência são:
Escolha uma opção:
. e
. e
. e
. e
. Converge em todo real
Passo 1
Vem comigo que a gente detona essa juntos!
Para encontramos o raio de convergência e o intervalo de convergência, vamos usar o teste da razão, onde temos que:
Vamos aplicar isso ao que temos e ver os intervalos de para que isso seja verdade.
Passo 2
Vamos lá então, temos:
Agora temos que resolver aquele limite.
Passo 3
Para resolver esse limite vamos isolar no numerador e no denominador, assim:
Quando os termos com no denominador vão a zero então o limite fica igual a , assim:
Com Isso temos que .
Passo 4
Agora para achar o intervalo de convergência, temos que avaliar os valores de para que a inequação seja verdadeira, temos que:
Ou
Então o intervalo de convergência é dado por , agora temos que saber se o intervalo é fechado ou aberto, para isso teremos que testar esses limites do intervalo na nossa série e ver se ela converge ou não.
Se a série convergi para um dado limite o intervalo é fechado nele e se a série divergi o intervalo é aberto naquele limite.
Passo 5
Vamos avaliar a série em , temos:
E essa série converge, logo o intervalo é fechado em
Agora vamos para , temos:
E essa série converge, pelo teste da série alternada, logo o intervalo é fechado em .
Então a alternativa correta é letra .
Resposta
. e