Cálculo - James Stewart - Volume 2 - 7ª Edição – Capítulo 11 – Seção 9 – Exercício 17
(Capítulo 11.9 – Exercício 17) Encontre uma representação em série de potências para a função e determine o raio de convergência.
Passo 1
Vamos pra mais uma?
Temos uma função e aí queremos escrever essa função no formato de série de potências, assim
Ou seja, queremos mudar a forma que olhamos pra essa função
E aí, precisamos encontrar o raio de convergência dessa série de potências
Lembrando aqui: o intervalo de convergência vai incluir os valores de em que a série não vai explodir lá pro , sacou? Já o raio de convergência é basicamente a distância do centro da série até um extremo do intervalo de convergência
Passo 2
Vamos lá, temos a função
Podemos reescrevê-la como um produto:
Vamos olhar só para a fração por enquanto ok?
Agora a gente vai ter que ser muito muito mente aberta e lembrar lááá das principais derivadas em cálculo 1
Quando temos algo do tipo , pela regra do quociente, isso é a derivada de
Então
(lembrando que )
Então, temos
Dividindo tudo por 2:
Opaaa, isso já ta ficando interessante hehehe
Passo 3
Dentro da derivada, temos algo no estilo
Ou seja, um valor dividindo alguma coisa
Isso parece muito a representação de uma série com o resultado assim:
Em que é o primeiro termo da série e é a razão:
Então:
Substituindo na derivada:
Como a derivada é só em relação a , podemos deixar só ele lá dentro:
A derivada de é , então:
Passo 4
Para voltarmos a , é só multiplicar a série por , né? (lembrando lá do passo 2)
Passo 5
Como a razão da série geométrica que usamos era , pra série convergir devemos ter:
Então o raio de convergência é