O raio de convergência R e o intervalor de convergência I da série de potências ∑ n = 1 ∞ 3 n x - 1 n n 4 n são respectivamente:

Escolha uma opção:

a. R = ∞ e I = R

b. R = 0 e I = [ 1 ,   1 ]

c. R = 3 / 4 e I = ( 1 / 4 ,   7 / 4 ]

d. R = 4 / 3 e I = ( - 1 / 3 ,   7 / 3 ]

e. R = 4 / 3 e I = [ - 1 / 3 ,   7 / 3 )

f. R = 4 / 3 e I = ( - 1 / 3 ,   7 / 3 )

g. R = 0 e I = [ - 1 ,   - 1 ]

h. R = 3 / 4 e I = ( 1 / 4 ,   7 / 4 )

i. R = 4 / 3 e I = [ - 1 / 3 ,   7 / 3 ]

j. R = 3 / 4 e I = [ 1 / 4 ,   7 / 4 ]

k. R = 3 / 4 e I = [ 1 / 4 ,   7 / 4 )

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão.

O enunciado nos deu a série:

∑ n = 1 ∞ 3 n x - 1 n n 4 n

E pediu pra gente encontrar o raio de convergência e o intervalo de convergência. Lembra como a gente faz isso?

O primeiro passo é a gente verificar o raio de convergência usando o teste da razão:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n

Então, se lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = L o nosso raio de convergência vai ser R = 1 / L . Depois disso, como a nossa série é centrada em x 0 = 1 , nós podemos fazer x 0 - R e x 0 + R para encontrar o nosso intervalo de convergência.

Vamos lá!

Passo 2

Usando o teste da razão, temos:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = l i m n → ∞ 3 n + 1 x - 1 n + 1 ( n + 1 ) 4 n + 1 ∙ n 4 n 3 n x - 1 n

Abrindo as potências, temos:

l i m n → ∞ 3 n 3 x - 1 n x - 1 n 4 n n + 1 4 n 4 ∙ 3 n x - 1 n

Simplificando:

l i m n → ∞ 3 x - 1 n n + 1 4

Assim,

3 4 x - 1 l i m n → ∞ n n + 1

Dividindo todo mundo por n e aplicando o limite:

3 4 x - 1 l i m n → ∞ 1 1 + 1 n

= 3 4   p a r a   t o d o   x ∈ R

Logo, o nosso raio de convergência será:

R = 1 L = 1 3 / 4 = 4 3

E o nosso intervalo de convergência para x 0 = 1 , será:

x 0 - R = 1 - 4 3 = - 1 3

x 0 + R = 1 + 4 3 = 7 3

Só falta a gente saber se a nossa série está definida nos extremos desse intervalo, ou seja, em x = - 1 / 3 e x = 7 / 3 .

Passo 3

Para x = - 1 / 3 , temos:

∑ n = 1 ∞ 3 n - 1 3 - 1 n n 4 n = ∑ n = 1 ∞ 3 n - 4 3 n n 4 n

Simplificando temos:

∑ n = 1 ∞ ( - 1 ) n n

Que converge, pelo teste da série alternada. Logo, x = - 1 / 3 pertence ao intervalo.

Agora para x = 7 / 3 , temos:

∑ n = 1 ∞ 3 n 7 3 - 1 n n 4 n = ∑ n = 1 ∞ 3 n 4 3 n n 4 n

Simplificando:

∑ n = 1 ∞ 1 n

Que diverge, pois é uma p-série com p ≤ 1 . Portanto, x = 7 / 3 não pertence ao intervalo. Dessa forma, nosso intervalo de convergência será:

I = - 1 3 , 7 3

E nós podemos marcar a letra e.

Encerramos o exercício. Valeu, galera! 😉

Resposta

e .   R = 4 / 3   e   I = [ - 1 / 3 ,   7 / 3 )

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Suponha que a série de potências ∑ c n x - a n satisfaça c n ≠ 0 para todo n . Mostre que, se l i m n → ∞c n c n + 1 existir, então ele será igual ao raio de convergência da série de potências.
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