UFMG – Cálculo 2 – P2 – Questão 1
Determine o intervalo de convergência da série abaixo:
Passo 1
Oi, tudo bem? Essa questão parece ser complicada, mas vou resolver passo a passo com você! Beleza?
O problema nos deu uma série de potências:
E perguntou qual é o raio de convergência!
Mas o que é raio de convergência de uma série?
Supondo uma séria escrita nesse formato aqui
O intervalo de convergência é o intervalo na reta dos onde essa série seria convergente. Por exemplo, supondo que essa série só vai convergir quando estiver entre e :
Para verificar se os extremos pertencem ao intervalo (bolinha fechada) ou não (ou aberta) basta substituir cada extremo na série e analisar o comportamento. Se for divergente então nesse ponto o intervalo é aberto. Se a série for convergente, então o intervalo ali é fechado.
Beleza?
Mas e como calculamos esse raio de convergência? Pelo reste da razão das séries alternadas!
Se a série estiver escrita nesse formato:
Então vamos calcular :
E então o raio de convergência será :
E o intervalo? Bom, aí é só fazer e a partir do centro da série:
Obs.: não esquece de verificar se o intervalo é aberto ou fechado! (aqui deixei ele aberto! Mas precisamos verificar, ok?)
Então a ideia para resolver essa questão é o seguinte:
- Escrever a série no formato
- Determinar e a razão
- Calcular o limite dessa razão no infinito
- Com o valor do limite , calcular o raio de convergência e o intervalo
- Por fim, testar os extremos do intervalo.
Beleza?
Mas calma, vou fazer passo a passo com você! Vamos lá?
Passo 2
A série dada foi:
A primeira coisa a se fazer é escrever essa série no formato . Para isso, vou colocar em evidência o dentro dos parênteses:
Assim a série está centrada em
Beleza?
Passo 3
Agora precisamos determinar e a razão .
Nossa série é
Então é tudo que multiplica o termo no somatório:
Para achar basta substituir por :
Beleza?
Agora vamos calcular a razão :
Beleza?
Passo 4
O próximo passo é calcular o limite dessa razão no infinito (e aqui pode usar e abusar de todas as técnicas que você viu lá em cálculo 1):
Como nos deparamos com uma indeterminação, vou aplicar a regra de L’Hopital. É só derivar em cima, derivar embaixo e avaliar de novo o limite.
Com o valor do limite, podemos determinar o raio e o intervalo de convergência!
Tranquilo?
Passo 5
Agora que achamos o limite, podemos encontrar o raio de convergência:
E o intervalo vai ser, somando e subtraindo o valor do raio, do centro da série (que vimos lá no passo 2 que esta série é centrada em ):
Beleza? Já determinamos o intervalo de convergência, mas não sabemos se os extremos pertencem ou não ao intervalo, então precisamos testar!
Passo 6
Nosso próximo passo é testar os extremos! Primeiro vamos testar :
Fazendo temos e a série fica assim:
Caímos em uma série alternada, então para analisar seu comportamento, vamos relembrar as condições do teste da série alternada:
Vamos analisar primeiro o limite no infinito:
Oba! A primeira condição já foi satisfeita! Agora vamos verificar a segunda:
E assim por diante... então podemos ver que , satisfazendo, portanto, a segunda condição do teste!
é convergente e isso significa que pertence sim ao nosso intervalo de convergência!
Beleza?
Vamos testar o outro lado?
Passo 7
Agora precisamos substituir na série de potências:
Daí temos
Encontramos . Como esse termo geral é decrescente, então podemos aplicar o teste da integral!
Esse teste nos diz que:
E agora trocar
E integrar:
Essa integral diverge. Logo, a séria também diverge. Isso significa que não pertence ao intervalo de convergência.
Passo 8
Recapitulando:
O intervalo que encontramos é:
Vimos que em a série numérica é convergente e que em ela é divergente. Então o intervalo é fechado em e aberto em :
Ufa! Terminamos!
Bora pra próxima?