Séries alternadas, Séries de potências
Estude a convergência da série de potências:
Passo 1
Pra estudar a convergência dessa série, devemos aplicar a definição de raio de convergência:
E no nosso caso, vamos analisar pra . E então, resolvendo o limite:
E como , teremos que o raio de convergência é .
Passo 2
Sabemos que, analisando o termo , podemos dizer que o centro da expansão da série é . E portanto o intervalo de convergência da série tem extremos e . Logo, o intervalo de convergência tem extremos e .
Passo 3
Agora vamos verificar se os extremos pertencem ou não ao intervalo de convergência. Pra isso, vamos verificar se a série converge, fazendo e . Veja só:
Pra :
Que pelo teste da integral:
Com , a integral converge pra zero!
Verificamos que converge! Então, pertence ao intervalo!
Pra :
Que pelo teste da integral, verificamos que também converge! Então, pertence ao intervalo!