Determinar o raio de convergência da série de potências
Passo 1
Como temos fatorial na expressão do termo da nossa série, vamos aplicar o Teste da razão, que é bom para esse caso. Já que temos , não , vamos usar o teste na forma tradicional.
Temos o seguinte:
Onde
Passo 2
Isso nos dá
Vamos analisar esse limite agora,
Dependendo do valor de temos uma indeterminação ou o limite vai ser que é .
Isso tudo depende do valor de , se ele for menor que então vai para e temos a indeterminação, se ele for maior que então vai ser . Assim já garantimos que
A série diverge, temos que analisar a outra situação
Passo 3
Vamos ver agora o limite quando
Vamos fazer
Para isso vamos considerar também , para evitar problemas de conta, mas repara que se então temos o somatório de que converge.
Voltando para o limite
Agora podemos aplica L’Hopital
Assim pelo teste da razão se a série converge.
Passo 4
Achamos um intervalo de que a série converge
Como ele quer o raio de convergência, vamos ter que esse raio vai ser