Séries de potências, Teste da razão
Seja
Determine os valores de tais que é convergente.
Passo 1
O que a questão nos pede é o intervalo de convergência dessa série, vamos começar descobrindo o seu raio.
Para descobrir o raio de convergência, vamos aplicar o Teste da razão na forma simplificada para séries de potências. Temos:
Então
Como , temos .
Passo 2
Vamos agora calcular o intervalo de convergência. Como a série é centrada em , sabemos que esse intervalo é:
Isso nos dá
Pelo menos nesse intervalo a série converge, agora precisamos descobrir se as extremidades e são abertas ou fechadas.
Passo 3
Para , a série se torna:
Uma série alternada. Essa série não tem cara de que converge absolutamente (o numerado tem “grau” e o denominador, ). Vamos partir então para a convergência condicional, usando o Teste das Séries Alternadas.
Precisamos verificar se é decrescente e se o seu limite é zero quando tende a infinito.
Como ver se é decrescente? Repara no seguinte:
Certo? Sendo que tanto a sequência como são decrescentes. Como é formada pelo produto de sequências de termos positivos descrescentes, podemos dizer que também decresce.
Agora precisamos checar se tende a zero.
Logo, pelo Teste das séries alternadas, a série converge condicionalmente, portanto, converge.
Logo, pertence ao intervalo de convergência.
Passo 4
Para , a série se torna:
Repara que nós temos “grau” 2 no numerador e no denominador, o que nos faz lembrar da Série Harmõnica, que diverge. Vamos então tentar usar o Teste da Comparação daqui:
Como a série possui termos maiores dos que os da Série Harmônica, que diverge, podemos dizer que ela também diverge.
Portanto, não pertence ao intervalo de convergência