Sabendo que a aproximação de Stirling é
,
calcule o raio de convergência da seguinte série de potências
.
Passo 1
Vem comigo que a gente detona essa juntos!
Para encontramos o raio de convergência, vamos usar o teste da razão, onde temos que:
Vamos aplicar isso ao que temos e ver os intervalos de para que isso seja verdade.
Passo 2
Vamos lá então, temos:
Agora temos que resolver esse limite, vamos resolver ele separadamente, pois ele vai nos dá um trabalhinho.
Passo 3
Usando o fato de que:
Então:
Usando propriedades de limite, temos que:
Então temos que resolver agora o seguinte:
Agora vamos aplicar regra de L’ Hopital, assim:
Isolando no denominador, temos:
Então temos que:
Passo 4
Agora juntando tudo, temos que:
Logo o raio de convergência é igual a .