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Exercícios Resolvidos de Raio e Intervalo de Convergência

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Enunciado

UFRJ – Cálculo 4 – 2020.2 – P1 – M. Escolha

10 . Sabendo que a aproximação de Stirling é

n ! ≅ 2 π n n e n ,

calcule o raio de convergência da seguinte série de potências

∑ i = 1 + ∞ i i e i i ! x - 5 i .

Passo 1

Vem comigo que a gente detona essa juntos!

Para encontramos o raio de convergência, vamos usar o teste da razão, onde temos que:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n < 1

Vamos aplicar isso ao que temos e ver os intervalos de x para que isso seja verdade.

Passo 2

Vamos lá então, temos:

lim i → ∞ ⁡ a i + 1 a i = lim i → ∞ ⁡ ( i + 1 ) i + 1 e i + 1 ( i + 1 ) ! x - 5 i + 1 ⋅ e i i ! i i x - 5 i

= lim i → ∞ ⁡ i + 1 i + 1 x - 5 e i + 1 i i

= x - 5 e lim i → ∞ ⁡ i + 1 i + 1 i + 1 i i

= x - 5 e lim i → ∞ ⁡ i + 1 i i i

Agora temos que resolver esse limite, vamos resolver ele separadamente, pois ele vai nos dá um trabalhinho.

Passo 3

lim i → ∞ ⁡ i + 1 i i i

= lim i → ∞ ⁡ i - i i + 1 i

Usando o fato de que:

i - i i + 1 i = e i ln ⁡ ( i + 1 ) - i ln ⁡ ( i )

Então:

lim i → ∞ ⁡ e i ln ⁡ ( i + 1 ) - i ln ⁡ ( i )

Usando propriedades de limite, temos que:

lim i → ∞ ⁡ e i ln ⁡ ( i + 1 ) - i ln ⁡ ( i ) = e lim i → ∞ ⁡ i ln ⁡ ( i + 1 ) - i ln ⁡ ( i )

Então temos que resolver agora o seguinte:

lim i → ∞ ⁡ i ln ⁡ i + 1 - i ln ⁡ i

⇒ lim i → ∞ ⁡ - i - ln ⁡ i + 1 + ln ⁡ i

⇒ - lim i → ∞ ⁡ i - ln ⁡ i + 1 + ln ⁡ i

⇒ - lim i → ∞ ⁡ - ln ⁡ i + 1 + ln ⁡ i 1 / i

Agora vamos aplicar regra de L’ Hopital, assim:

- lim i → ∞ ⁡ - 1 i + 1 + 1 i - 1 i 2

⇒ - lim i → ∞ ⁡ - i i + 1

⇒ lim i → ∞ ⁡ i i + 1

Isolando i no denominador, temos:

lim i → ∞ ⁡ i i 1 + 1 i = 1

Então temos que:

lim i → ∞ ⁡ i + 1 i i i = e 1 = e

Passo 4

Agora juntando tudo, temos que:

x - 5 e e < 1

⇒ x - 5 < 1

Logo o raio de convergência é igual a 1 .

Resposta

R = 1

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