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Exercícios Resolvidos de Raio e Intervalo de Convergência

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Enunciado

Determine o raio de convergência e o intervalo de convergência da série

∑ n = 1 ∞ - 1 n 2 x + 3 n n ln ⁡ n

Passo 1

Cara, a gente não tem muitos termos elevado a n aqui, só - 1 n e 2 x + 3 n :

∑ n = 1 ∞ - 1 n 2 x + 3 n n ln ⁡ n

Vamos usar então o teste da razão. Ele diz que se a nossa série tem um termo geral a n . Se fizermos

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = L

E 0 ≤ L < 1 então a série converge, mas se L > 1 , então a série diverge. Vamos avaliar então para que intervalo a gente tem L < 1 .

Vamos tentar aplicar isso na nossa série!

Passo 2

Então o termo geral a n dela é

a n = - 1 n 2 x + 3 n n ln ⁡ n

E a n + 1 fica

a n + 1 = - 1 n + 1 2 x + 3 n + 1 ( n + 1 ) ln ⁡ n + 1

∴

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = lim n → ∞ ⁡ - 1 n + 1 2 x + 3 n + 1 ( n + 1 ) ln ⁡ n + 1 - 1 n 2 x + 3 n n ln ⁡ n = lim n → ∞ ⁡ 2 x + 3 n 2 x + 3 ( n + 1 ) ln ⁡ n + 1 2 x + 3 n n ln ⁡ n = lim n → ∞ ⁡ 2 x + 3 ( n ln ⁡ n ) n + 1 ln ⁡ n + 1

= 2 x + 3 lim n → ∞ ⁡ n ln ⁡ n n + 1 ln ⁡ n + 1

Passo 3

E aí a gente calcula esse limite

lim n → ∞ ⁡ n ln ⁡ n n + 1 ln ⁡ n + 1 = lim n → ∞ ⁡ n n + 1 ⋅ lim n → ∞ ⁡ ln ⁡ n ln ⁡ n + 1

Com esses dois limites dão a indeterminação ∞ / ∞ , vamos usar L ' H o s p i t a l neles, separadamente

lim n → ∞ ⁡ n n + 1 → L ' H → lim n → ∞ ⁡ 1 1 = 1

lim n → ∞ ⁡ ln ⁡ n ln ⁡ n + 1 → L ' H → lim n → ∞ ⁡ 1 / n 1 n + 1 = lim n → ∞ ⁡ n + 1 n → L ' H → lim n → ∞ ⁡ 1 1 = 1

∴

lim n → ∞ ⁡ n ln ⁡ n n + 1 ln ⁡ n + 1 = lim n → ∞ ⁡ n n + 1 ⋅ lim n → ∞ ⁡ ln ⁡ n ln ⁡ n + 1 = 1

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = | 2 x + 3 |

Passo 4

Para termos uma série convergente, precisamos que esse resultado seja menor que 1:

2 x + 3 < 1

Resolvendo essa inequação

2 x + 3 < 1 ∴ x < - 1

- 2 x + 3 < 1 ∴ x > - 2

Achamos o intervalo

- 2 < x < - 1

O raio de convergência vai ser a metade desse intervalo. Como esse intervalo tem tamanho - 1 - - 2 = 1 , o raio é

R = 1 2

Passo 5

Agora a gente precisa ver se a nossa série, nos pontos que limitam o intervalo, converge também ou não para saber se temos um intervalo fechado ou aberto.

- Limitante inferior do intervalo: x 1 = - 2

∑ n = 1 ∞ - 1 n 2 ⋅ ( - 2 ) + 3 n n ln ⁡ n = ∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 n n ln ⁡ ( n ) = ∑ n = 1 ∞ - 1 2 n 1 n   l n ( n ) = ∑ n = 1 ∞ 1 n ln ⁡ n

O expoente do - 1 , fica par, então ali só dá 1 . Podemos analisar a convergência dessa série pelo teste da integral. Se

∫ 1 ∞ 1 x ln ⁡ x d x

converge para um valor. Então a nossa série converge. Vamos avaliar essa integral então!

Usando a substituição u = ln ⁡ x :

d u d x = 1 x ∴ d u = 1 x d x

∴

∫ 1 x ln ⁡ x d x = ∫ 1 u d u = ln ⁡ u = ln ⁡ ln ⁡ x

Aplicando os limites de integração a gente fica assim:

∫ 2 ∞ 1 x ln ⁡ x d x = lim c → ∞ ⁡ ∫ 2 c 1 x ln ⁡ x d x = lim c → ∞ ⁡ [ ln ⁡ ln ⁡ x |   2 c

= lim c → ∞ ⁡ ln ⁡ ln ⁡ x - ln ⁡ | ln ⁡ 2 |    

Como esse termo de ln ⁡ | ln ⁡ x |   tende ao infinito, já que ln ⁡ x com x → ∞ vai tender ao infinito. Temos que essa integral explode para infinito. Isso quer dizer que ela é diverge. E se a integral diverge, nossa série também vai divergir em x = - 2 .

Passo 6

- Limitante superior do intervalo: x = - 1

∑ n = 1 ∞ - 1 n 2 ⋅ ( - 1 ) + 3 n n ln ⁡ n = ∑ n = 1 ∞ - 1 n 1 n n   l n ⁡ ( n ) = ∑ n = 1 ∞ - 1 n n ln ⁡ ( n )

Essa série converge condicionalmente. A gente pode usar o teste da série alternada nela para provar. O termo

c n = 1 n ln ⁡ ( n )

Atende aos dois critérios para a convergência

1 ( n + 1 ) ln ⁡ ( n + 1 ) ≤ 1 n ln ⁡ ( n )

E

lim n → ∞ ⁡ c n = lim n → ∞ ⁡ 1 n ln ⁡ ( n ) = 0

Então em x = - 1 nossa série converge.

Aí a gente pode dizer que nosso raio de convergência é R = 1 / 2 . E que o intervalo de convergência é - 2 , - 1 , beleza?

Resposta

R = 1 2 ,   - 2 , - 1

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